如果$\frac{3+2 \sqrt{3}}{3-2 \sqrt{3}}=a+b \sqrt{3}$，求 $a \times b$ 的值。

已知

$\frac{3+2 \sqrt{3}}{3-2 \sqrt{3}}=a+b \sqrt{3}$.

要求

我们必须找到 $a \times b$ 的值。
解答

分母为 $a+\sqrt{b}$ 的分数的有理化因数为 $a-\sqrt{b}$。
因此，

$\frac{3+2 \sqrt{3}}{3-2 \sqrt{3}}=\frac{3+2 \sqrt{3}}{3-2 \sqrt{3}}\times\frac{3+2 \sqrt{3}}{3+2 \sqrt{3}}$

$=\frac{(3+2 \sqrt{3})^2}{(3)^2-(2\sqrt3)^2}$

$=\frac{3^2+2(3)(2\sqrt3)+(2\sqrt3)^2}{9-4(3)}$

$=\frac{9+12\sqrt3+4(3)}{9-12}$

$=\frac{21+12\sqrt3}{-3}$
 $=-(7+4\sqrt3)$

与 $a+b\sqrt3$ 进行比较，我们得到：

$a=-7$ 且 $b=-4$

因此，

$a \times b=(-7)\times(-4)$

$=28$

$a \times b$ 的值为 $28$。

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更新于: 2022年10月10日

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