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法律研究在下列各题中，确定有理数 $a$ 和 $b$：\( \frac{3+\sqrt{2}}{3-\sqrt{2}}=a+b \sqrt{2} \)
已知
\( \frac{3+\sqrt{2}}{3-\sqrt{2}}=a+b \sqrt{2} \)
要求：
我们必须确定有理数 $a$ 和 $b$。
解答
我们知道，
分母为 ${\sqrt{a}}$ 的分数的有理化因子是 ${\sqrt{a}}$。
分母为 ${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$ 的分数的有理化因子是 ${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$。
分母为 ${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ 的分数的有理化因子是 ${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$。
左边 $=\frac{3+\sqrt{2}}{3-\sqrt{2}}=\frac{(3+\sqrt{2})(3+\sqrt{2})}{(3-\sqrt{2})(3+\sqrt{2})}$
$=\frac{(3+\sqrt{2})^{2}}{(3)^{2}-(\sqrt{2})^{2}}$
$=\frac{9+2+2 \times 3 \sqrt{2}}{9-2}$
$=\frac{11+6 \sqrt{2}}{7}$
$=\frac{11}{7}+\frac{6}{7} \sqrt{2}$
因此，
$a+b \sqrt{2}=\frac{11}{7}+\frac{6}{7} \sqrt{2}$
比较两边，我们得到，
$a=\frac{11}{7}$ 和 $b=\frac{6}{7}$
因此，$a=\frac{11}{7}$ 和 $b=\frac{6}{7}$。
更新于：2022年10月10日
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