在下列各题中，确定有理数 $a$ 和 $b$：\( \frac{4+3 \sqrt{5}}{4-3 \sqrt{5}}=a+b \sqrt{5} \)

已知

\( \frac{4+3 \sqrt{5}}{4-3 \sqrt{5}}=a+b \sqrt{5} \)

要求：

我们必须确定有理数 $a$ 和 $b$。

解答

我们知道：

分母为 ${\sqrt{a}}$ 的分数的有理化因子是 ${\sqrt{a}}$。

分母为 ${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$ 的分数的有理化因子是 ${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$。

分母为 ${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ 的分数的有理化因子是 ${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$。

左边 =$\frac{4+3 \sqrt{5}}{4-3 \sqrt{5}}=\frac{(4+3 \sqrt{5})(4+3 \sqrt{5})}{(4-3 \sqrt{5})(4+3 \sqrt{5})}$

$=\frac{(4+3 \sqrt{5})^{2}}{(4)^{2}-(3 \sqrt{5})^{2}}$

$=\frac{16+45+24 \sqrt{5}}{16-45}$

$=\frac{61+24 \sqrt{5}}{-29}$

$=\frac{-61}{29}+\frac{-24}{29}\sqrt5$

因此，

$a+b \sqrt{5}=\frac{-61}{29}+\frac{-24}{29}\sqrt{5}$

比较两边，我们得到：

$a=\frac{-61}{29}$ 和 $b=\frac{-24}{29}$

因此，$a=\frac{-61}{29}$ 和 $b=\frac{-24}{29}$。

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更新于：2022年10月10日

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