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法学因式分解下列表达式：\( 3 \sqrt{3} a^{3}-b^{3}-5 \sqrt{5} c^{3}-3 \sqrt{15} a b c \)
已知
\( 3 \sqrt{3} a^{3}-b^{3}-5 \sqrt{5} c^{3}-3 \sqrt{15} a b c \)
要求
我们需要对给定的表达式进行因式分解。
解答
我们知道：
$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c) (a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$
如果 $a + b + c = 0$，则 $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$
因此：
$3 \sqrt{3} a^{3}-b^{3}-5 \sqrt{5} c^{3}-3 \sqrt{15} a b c = (\sqrt{3} a)^{3}+(-b)^{3}+(-\sqrt{5} c)^{3}-3 \sqrt{3} a \times(-b) \times(-\sqrt{5} c)$
$=(\sqrt{3} a-b-\sqrt{5} c)[(\sqrt{3} a)^{2}+(-b)^{2}+(-\sqrt{5} c)^{2}-\sqrt{3} a \times(-b)-(-b)(-\sqrt{5} c)-(-\sqrt{5} c) \times \sqrt{3} a$
$=(\sqrt{3} a-b-\sqrt{5} c)(3 a^{2}+b^{2}+5 c^{2}+\sqrt{3} a b-\sqrt{5} b c+\sqrt{15} c a)$
因此，$3 \sqrt{3} a^{3}-b^{3}-5 \sqrt{5} c^{3}-3 \sqrt{15} a b c = (\sqrt{3} a-b-\sqrt{5} c)(3 a^{2}+b^{2}+5 c^{2}+\sqrt{3} a b-\sqrt{5} b c+\sqrt{15} c a)$。
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