在下列各题中，确定有理数$a$和$b$：\( \frac{5+3 \sqrt{3}}{7+4 \sqrt{3}}=a+b \sqrt{3} \)

已知

\( \frac{5+3 \sqrt{3}}{7+4 \sqrt{3}}=a+b \sqrt{3} \)

要求：

我们必须确定有理数$a$和$b$。

解答

我们知道，

分母为${\sqrt{a}}$的分数的有理化因子是${\sqrt{a}}$。

分母为${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$的分数的有理化因子是${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$。

分母为${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$的分数的有理化因子是${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$。

左边 $=\frac{5+3 \sqrt{3}}{7+4 \sqrt{3}}=\frac{(5+3 \sqrt{3})(7-4 \sqrt{3})}{(7+4 \sqrt{3})(7-4 \sqrt{3})}$

$=\frac{35-20 \sqrt{3}+21 \sqrt{3}-12 \times 3}{(7)^{2}-(4 \sqrt{3})^{2}}$

$=\frac{35+\sqrt{3}-36}{49-48}$

$=\frac{\sqrt{3}-1}{1}$

$=-1+\sqrt{3}$

因此，

$a+b \sqrt{3}=-1+\sqrt{3}$

比较两边，我们得到，

$a=-1$ 和 $b=1$

因此，$a=-1$ 和 $b=1$。 

教程点

更新于：2022年10月10日

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