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法律研究在以下每个问题中，确定有理数 $a$ 和 $b$：\( \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}=a-b \sqrt{3} \)
已知
\( \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}=a-b \sqrt{3} \)
要求：
我们必须确定有理数 $a$ 和 $b$。
解答
我们知道，
分母为 ${\sqrt{a}}$ 的分数的有理化因数是 ${\sqrt{a}}$。
分母为 ${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$ 的分数的有理化因数是 ${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$。
分母为 ${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ 的分数的有理化因数是 ${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$。
左侧 $=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}=\frac{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}$
$=\frac{(\sqrt{3}-1)^{2}}{(\sqrt{3})^{2}-(1)^{2}}$
$=\frac{3+1-2 \sqrt{3}}{3-1}$
$=\frac{4-2 \sqrt{3}}{2}$
$=2-\sqrt{3}$
因此，
$a-b \sqrt{3}=2-\sqrt{3}$
比较两边，得到，
$a=2$ 和 $b=1$
因此，$a=2$ 和 $b=1$。
更新于： 2022年10月10日
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