在以下每个问题中，确定有理数 $a$ 和 $b$：$\frac{\sqrt{11}-\sqrt{7}}{\sqrt{11}+\sqrt{7}}=a-b \sqrt{77}$

已知

$\frac{\sqrt{11}-\sqrt{7}}{\sqrt{11}+\sqrt{7}}=a-b \sqrt{77}$

要求： 

我们必须确定有理数 $a$ 和 $b$。

解答

我们知道，

分母为 ${\sqrt{a}}$ 的分数的有理化因数是 ${\sqrt{a}}$。

分母为 ${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$ 的分数的有理化因数是 ${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$。

分母为 ${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ 的分数的有理化因数是 ${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$。

左边 $=\frac{\sqrt{11}-\sqrt{7}}{\sqrt{11}+\sqrt{7}}=\frac{(\sqrt{11}-\sqrt{7})(\sqrt{11}-\sqrt{7})}{(\sqrt{11}+\sqrt{7})(\sqrt{11}-\sqrt{7})}$

$=\frac{(\sqrt{11}-\sqrt{7})^{2}}{(\sqrt{11})^{2}-(\sqrt{7})^{2}}$

$=\frac{11+7-2 \times \sqrt{11} \times \sqrt{7}}{11-7}$

$=\frac{18-2 \sqrt{77}}{4}$

$=\frac{9-\sqrt{77}}{2}$

$=\frac{9}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{77}$

因此，

$a-b \sqrt{77}=\frac{9}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{77}$

比较两边，我们得到，

$a=\frac{9}{2}$ 和 $b=\frac{1}{2}$

因此， $a=\frac{9}{2}$ 和 $b=\frac{1}{2}$。  

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更新时间： 2022 年 10 月 10 日

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