将下列数字分类为有理数或无理数
(i) \( 2-\sqrt{5} \)
(ii) \( (3+\sqrt{23})-\sqrt{23} \)
(iii) \( \frac{2 \sqrt{7}}{7 \sqrt{7}} \)
(iv) \( \frac{1}{\sqrt{2}} \)
(v) \( 2 \pi \)

要做的

我们必须将给定的数字分类为有理数或无理数。

解决方案

 (i) 我们知道，

$\sqrt{5}=2.236067..........$

\( \sqrt{5} \) 的十进制展开式是非终止且非循环的。

因此，\( 2-\sqrt{5} \) 是一个无理数。

(ii) $(3+\sqrt{23})-\sqrt{23}=3+\sqrt{23}-\sqrt{23}$

$=3$

$=\frac{3}{1}$

数字 $\frac{3}{1}$ 的形式为 $\frac{p}{q}$。

因此，\( (3+\sqrt{23})-\sqrt{23} \) 是一个有理数。

(iii) \( \frac{2 \sqrt{7}}{7 \sqrt{7}}=\frac{2}{7} \)

数字 $\frac{2}{7}$ 的形式为 $\frac{p}{q}$。

因此，\( \frac{2 \sqrt{7}}{7 \sqrt{7}} \) 是一个有理数。

(iv) \( \frac{1}{\sqrt{2}} \)

对 \( \frac{1}{\sqrt{2}} \) 进行有理化，得到：

$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\times\frac{\sqrt2}{\sqrt{2}}$

$=\frac{1\times\sqrt2}{\sqrt{2}\sqrt2}$

$=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sqrt{2}=1.4142135..........$

\( \sqrt{2} \) 的十进制展开式是非终止且非循环的。

因此，\( \frac{1}{\sqrt{2}} \) 是一个无理数。

(v) \( 2 \pi \)

$\pi=3.1415........$

这意味着，

$2\pi=2\times(3.1415........)$

$=6.2830.........$

数字 $6.2830.........$ 是非终止非循环的。

因此，\( 2 \pi \) 是一个无理数。

教程点

更新于： 2022年10月10日

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