证明下列数是无理数。
(i) $\frac{1}{\sqrt{2}}$
(ii) $7\sqrt{5}$

已知：

给定的数字是

(i) $\frac{1}{\sqrt{2}}$

(ii) $7\sqrt{5}$

证明：这里我们需要证明给定的数字是无理数。

解答

(i)  $\mathbf{\frac{1}{\sqrt{2}}}$

假设$\frac{1}{\sqrt{2}}$是一个有理数。

那么，$\frac{1}{\sqrt{2}}$可以写成$\frac{a}{b}$的形式，其中a和b互质，且b不等于0。

因此，

$\frac{1}{\sqrt{2}}\ =\ \frac{a}{b}$

$\frac{b}{a}\ =\ \sqrt{2}$

这里，$\frac{b}{a}$是有理数，但$\sqrt{2}$是无理数。

有理数不能等于无理数。

这与我们的假设相矛盾，即$\frac{1}{\sqrt{2}}$是有理数。

因此，$\frac{1}{\sqrt{2}}$是无理数。

( ii) $\mathbf{7\sqrt{5}}$

假设$7\sqrt{5}$是一个有理数。

因此，$7\sqrt{5}$可以写成$\frac{a}{b}$的形式，其中a和b互质，且b不等于0。

$7\sqrt{5}\ =\ \frac{a}{b}$

$\sqrt{5}\ =\ \frac{a}{7b}$  ​

这里，$\sqrt{5}$是无理数，但$\frac{a}{7b}$​是有理数。

有理数不能等于无理数。

这与我们的假设相矛盾，即数字$7\sqrt{5}$是有理数。

因此，$7\sqrt{5}$是无理数。

教程点

更新于：2022年10月10日

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