证明下列数是无理数。
(i) $\frac{1}{\sqrt{2}}$
(ii) $7 \sqrt{5}$
(iii) $6+\sqrt{2}$.

证明:

这里我们要证明给定的数字是无理数。

解答

(i) $\mathbf{\frac{1}{\sqrt{2}}}$

假设 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 是一个有理数。

那么，$\frac{1}{\sqrt{2}}$ 可以写成 $\frac{a}{b}$ 的形式，其中 a 和 b 是互质数，且 b 不等于 0。

因此， 

$\frac{1}{\sqrt{2}}\ =\ \frac{a}{b}$

$\frac{b}{a}\ =\ \sqrt{2}$

这里，$\frac{b}{a}$ 是有理数，但 $\sqrt{2}$ 是无理数。

有理数不能等于无理数。

这与我们的假设相矛盾，即 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 是一个有理数。

因此，$\frac{1}{\sqrt{2}}$ 是无理数。

(ii) $\mathbf{7\sqrt{5}}$

假设 $7\sqrt{5}$ 是一个有理数。

因此，$7\sqrt{5}$ 可以写成 $\frac{a}{b}$ 的形式，其中 a 和 b 是互质数，且 b 不等于 0。

$7\sqrt{5}\ =\ \frac{a}{b}$

$\sqrt{5}\ =\ \frac{a}{7b}$  ​

这里，$\sqrt{5}$ 是无理数，但 $\frac{a}{7b}$ 是有理数。

有理数不能等于无理数。

这与我们的假设相矛盾，即 $7\sqrt{5}$ 是一个有理数。

因此，$7\sqrt{5}$ 是无理数。 

(iii) $6\ +\ \sqrt{2}$

假设，与之相反，$6\ +\ \sqrt{2}$ 是有理数。

因此，我们可以找到整数 a 和 b（b ≠ 0），使得 $6\ +\ \sqrt{2}\ =\ \frac{a}{b}$。

其中 a 和 b 是互质数。

现在，

$6\ +\ \sqrt{2}\ =\ \frac{a}{b}$

$\sqrt{2}\ =\ \frac{a}{b}\ -\ 6$

$\sqrt{2}\ =\ \frac{a\ -\ 6b}{b}$

这里，$\frac{a\ -\ 6b}{b}$ 是有理数，但 $\sqrt{2}$ 是无理数。

但是，无理数 ≠ 有理数。

这个矛盾是由于我们错误地假设 $6\ +\ \sqrt{2}$ 是有理数而引起的。

所以，这证明了 $6\ +\ \sqrt{2}$ 是一个无理数。

教程点

更新于：2022年10月10日

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