如果$\frac{7+\sqrt{5}}{7-\sqrt{5}}=a+b \sqrt{5}$，求a和b的值。

已知

已知表达式为 $\frac{7+\sqrt{5}}{7-\sqrt{5}}=a+b \sqrt{5}$

求解

我们需要求出a和b的值。

解答

$\frac{7+\sqrt{5}}{7-\sqrt{5}}$

为了分解分母，我们用$7+\sqrt{5}$乘以分子和分母

左边(LHS)

$\frac{7+\sqrt{5}}{7-\sqrt{5}} = \frac{(7+\sqrt{5}) \times (7+ \sqrt{5})}{(7-\sqrt{5}) \times (7 + \sqrt{5})}$

                $=\frac{(7+\sqrt{5})^2}{7^2-\sqrt{5}^2}$

                $= \frac{7^2 + \sqrt{5}^2 + 2 \times 7\sqrt{5}}{49-5}$

                $= \frac{49 + 5 + 14\sqrt{5}}{44}$

                $= \frac{54 + 14\sqrt{5}}{44}$

                 $= \frac{54}{44} + \frac{14 \sqrt{5}}{44}$

                 $= \frac{27}{22} + \frac{7\sqrt{5}}{22}$

右边(RHS)

                $a + b\sqrt{5}$

比较两边，

 $a + b\sqrt{5} = \frac{27}{22} + \frac{7\sqrt{5}}{22}$

$a = \frac{27}{22}$

$b = \frac{7}{22}$。

因此，a和b的值分别为 $\frac{27}{22}$ 和 $\frac{7}{22}$。

教程点

更新于：2022年10月10日

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