如果 $\sec A=\frac{17}{8}$，验证 $\frac{3-4 \sin ^{2} A}{4 \cos ^{2} A-3}=\frac{3-\tan ^{2} A}{1-3 \tan ^{2} A}$

已知

$sec\ A = \frac{17}{8}$。

需要做的事情

我们需要验证 $\frac{3-4 \sin ^{2} A}{4 \cos ^{2} A-3}=\frac{3-\tan ^{2} A}{1-3 \tan ^{2} A}$。

解：  

假设在直角三角形 $ABC$ 中，$\angle B$ 为直角，$sec\ A=\frac{17}{8}$。

我们知道，

在以 $B$ 为直角的直角三角形 $ABC$ 中，

根据勾股定理，

$AC^2=AB^2+BC^2$

根据三角函数的定义，

$sin\ \theta=\frac{对边}{斜边}=\frac{BC}{AC}$

$cos\ \theta=\frac{邻边}{斜边}=\frac{AB}{AC}$

$sec\ \theta=\frac{斜边}{邻边}=\frac{AC}{AB}$

$tan\ \theta=\frac{对边}{邻边}=\frac{BC}{AB}$

这里，

$AC^2=AB^2+BC^2$

$\Rightarrow (17)^2=(8)^2+BC^2$

$\Rightarrow BC^2=289-64$

$\Rightarrow BC=\sqrt{225}=15$

因此，

$sin\ \theta=\frac{BC}{AC}=\frac{15}{17}$

$cos\ \theta=\frac{AB}{AC}=\frac{8}{17}$

$tan\ \theta=\frac{BC}{AB}=\frac{15}{8}$

这意味着，

让我们考虑左边 (LHS)，

$\frac{3-4 \sin ^{2} A}{4 \cos ^{2} A-3}=\frac{3-4\left(\frac{15}{17}\right)^{2}}{4\left(\frac{8}{17}\right)^{2} -3}$

$=\frac{3-4\left(\frac{225}{289}\right)}{4\left(\frac{64}{289}\right) -3}$

$=\frac{\frac{3( 289) -4( 225)}{289}}{\frac{4( 64) -3( 289)}{289}}$

$=\frac{867-900}{256-867}$

$=\frac{-33}{-611}$

$=\frac{33}{611}$

让我们考虑右边 (RHS)，

$\frac{3-\tan ^{2} A}{1-3 \tan ^{2} A}=\frac{3-\left(\frac{15}{8}\right)^{2}}{1-3\left(\frac{15}{8}\right)^{2}}$

$=\frac{3-\left(\frac{225}{64}\right)}{1-3\left(\frac{225}{64}\right)}$

$=\frac{\frac{3( 64) -225}{64}}{\frac{64-3( 225)}{64}}$

$=\frac{192-225}{64-675}$

$=\frac{-33}{-611}$

$=\frac{33}{611}$

LHS = RHS

证毕。 

教程点

更新于： 2022年10月10日

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