如果 $3\ cot\ A = 4$，请检查 $\frac{1−tan^2\ A}{1+tan^2\ A} = cos^2\ A - sin^2\ A$ 是否成立。

---

已知

$3\ cot\ A = 4$。

要求

我们必须检查 $\frac{1−tan^2A}{1+tan^2A} = cos^2 A – sin^2 A$ 是否成立。

解：  

设在直角三角形 $ABC$ 中，$\angle B = 90^\circ$，$3\ cot\ A = 4$。

这意味着：

$cot\ A = \frac{4}{3}$

我们知道：

在以 $B$ 为直角的直角三角形 $ABC$ 中，

根据勾股定理：

$AC^2=AB^2+BC^2$

根据三角函数定义：

$sin\ A=\frac{对边}{斜边}=\frac{BC}{AC}$

$cos\ A=\frac{邻边}{斜边}=\frac{AB}{AC}$

$tan\ A=\frac{对边}{邻边}=\frac{BC}{AB}$

$cot\ A=\frac{邻边}{对边}=\frac{AB}{BC}$

这里，

$AC^2=AB^2+BC^2$

$\Rightarrow AC^2=(4)^2+(3)^2$

$\Rightarrow AC^2=16+9$

$\Rightarrow AC=\sqrt{25}=5$

因此，

$sin\ A=\frac{BC}{AC}=\frac{3}{5}$

$cos\ A=\frac{AB}{AC}=\frac{4}{5}$

 $tan\ A=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{4}$

考虑左边 (LHS)：

$\frac{1−tan^2A}{1+tan^2A} =\frac{1-(\frac{3}{4})^2}{1+(\frac{3}{4})^2}$

$=\frac{1-\frac{9}{16}}{1+\frac{9}{16}}$

$=\frac{\frac{16-9}{16}}{\frac{16+9}{16}}$

$=\frac{7}{25}$

现在，考虑右边 (RHS)：

$cos^2 A – sin^2 A=(\frac{4}{5})^2-(\frac{3}{5})^2$

$=\frac{16}{25}-\frac{9}{25}$

$=\frac{16-9}{25}$

$=\frac{7}{25}$

LHS = RHS

因此，$\frac{1−tan^2A}{1+tan^2A} = cos^2 A – sin^2 A$。