证明以下内容
如果\( \tan \mathrm{A}=\frac{3}{4} \)，则\( \sin \mathrm{A} \cos \mathrm{A}=\frac{12}{25} \)

已知

\( \tan \mathrm{A}=\frac{3}{4} \)

要求

我们需要证明\( \sin \mathrm{A} \cos \mathrm{A}=\frac{12}{25} \)。

解答

假设在直角三角形 $ABC$ 中，$\angle B$ 为直角，$\tan\ A=\frac{3}{4}$。

我们知道，

在以 $B$ 为直角的直角三角形 $ABC$ 中，

根据勾股定理，

$AC^2=AB^2+BC^2$

根据三角函数的定义，

$sin\ \theta=\frac{对边}{斜边}=\frac{BC}{AC}$

$cos\ \theta=\frac{邻边}{斜边}=\frac{AB}{AC}$

$sec\ \theta=\frac{斜边}{邻边}=\frac{AC}{AB}$

$tan\ \theta=\frac{对边}{邻边}=\frac{BC}{AB}$

这里，

$AC^2=AB^2+BC^2$

$\Rightarrow (AC)^2=(4)^2+(3)^2$

$\Rightarrow AC^2=16+9$

$\Rightarrow AC=\sqrt{25}=5$

因此，

$\sin\ A=\frac{BC}{AC}$

$=\frac{3}{5}$

$\cos\ A=\frac{AB}{AC}$

$=\frac{4}{5}$

因此，

$\sin \mathrm{A} \cos \mathrm{A}=\frac{3}{5} \times \frac{4}{5}$

$=\frac{3\times4}{5\times5}$

$=\frac{12}{25}$

证毕。

教程点

更新时间： 2022年10月10日

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