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一排房屋从 1 到 49 连续编号。证明存在一个 X 值,使得编号为 X 的房屋之前的房屋编号之和等于编号为 X 的房屋之后的房屋编号之和。


已知:一排房屋从 1 到 49 连续编号

要求:证明存在一个 X 值,使得编号为 X 的房屋之前的房屋编号之和等于编号为 X 的房屋之后的房屋编号之和。

解答

设存在一个 x 值,使得编号为 x 的房屋之前的房屋编号之和等于其之后的房屋编号之和。

也就是说,1 + 2 + 3 + . . . . + (x  1)=(x+1)+(x+2)+ . . . . . +49


已知等差数列 n 项和 S_{n} =\frac{n}{2}( a+l)   [a 是等差数列的首项,l 是末项]

\frac{x-1}{2}( 1+x-1) =\frac{49}{2}( 1+49) -\frac{x}{2}( a+l)

\therefore  x( x\ –\ 1) \ =\ 49\ \times \ 50\ –\ x( 1\ +\ x)

\therefore  x( x\ –\ 1) \ +\ x( 1\ +\ x) \ =\ 49\ \times \ 50

\therefore  x( x-1+1+x) =49\times 50

2x^{2} = 49\times50

\therefore x^{2} =49\times 25

\Rightarrow x=\sqrt{49\times 25}

\therefore x=7\times 5=35

由于 x 不是分数,满足给定条件的 x 值存在,且等于 35。

更新于: 2022年10月10日

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