一排房屋从 1 到 49 连续编号。证明存在一个 X 值,使得编号为 X 的房屋之前的房屋编号之和等于编号为 X 的房屋之后的房屋编号之和。
已知:一排房屋从 1 到 49 连续编号
要求:证明存在一个 X 值,使得编号为 X 的房屋之前的房屋编号之和等于编号为 X 的房屋之后的房屋编号之和。
解答
设存在一个 x 值,使得编号为 x 的房屋之前的房屋编号之和等于其之后的房屋编号之和。
也就是说,1 + 2 + 3 + . . . . + (x – 1)=(x+1)+(x+2)+ . . . . . +49
∴
已知等差数列 n 项和 S_{n} =\frac{n}{2}( a+l) [a 是等差数列的首项,l 是末项]
\frac{x-1}{2}( 1+x-1) =\frac{49}{2}( 1+49) -\frac{x}{2}( a+l)
\therefore x( x\ –\ 1) \ =\ 49\ \times \ 50\ –\ x( 1\ +\ x)
\therefore x( x\ –\ 1) \ +\ x( 1\ +\ x) \ =\ 49\ \times \ 50
\therefore x( x-1+1+x) =49\times 50
2x^{2} = 49\times50
\therefore x^{2} =49\times 25
\Rightarrow x=\sqrt{49\times 25}
\therefore x=7\times 5=35
由于 x 不是分数,满足给定条件的 x 值存在,且等于 35。
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