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法律研究验证以下三次多项式旁边给出的数字是否是它们的零点。还要验证每种情况下零点和系数之间的关系
(i) $2x^3 + x^2 - 5x + 2;\frac{1}{2}, 1, -2$
(ii) $x^3 - 4x^2 + 5x - 2; 2, 1, 1$
待办事项
我们必须检查三次多项式旁边给出的数字是否是它们的零点。
解答
我们知道，
三次多项式的标准形式为$ax^3+bx^2+cx+d$，其中a，b，c和d是常数，且$a≠0$。
(i) 令 $f(x)=2x^3 + x^2– 5x + 2$
将给定的多项式与三次多项式的标准形式进行比较，
$a=2$，$b=1$，$c=-5$ 和 $d=2$
此外，
如果$k$是给定多项式$f(x)$的根，则$f(k)=0$。
因此，
对于 $x = \frac{1}{2}$
$f(\frac{1}{2}) = 2(\frac{1}{2})^3 + (\frac{1}{2})^2 – 5(\frac{1}{2}) + 2$
$= 2(\frac{1}{8}) + \frac{1}{4} – 5(\frac{1}{2})+ 2 = 0$
$=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{5}{2}+2$
$=\frac{5}{2}-\frac{5}{2}$
$=0$
$f(\frac{1}{2}) = 0$，这意味着 $x = \frac{1}{2}$是该多项式的根。
对于 $x = 1$
$f(1) = 2(1)^3 + (1)^2 – 5(1) + 2$
$= 2 + 1 – 5 + 2$
$= 0$
$f(1) = 0$，这意味着 $x = 1$也是该多项式的根。
对于 $x = -2$
$f(-2) = 2(-2)^3 + (-2)^2 – 5(-2) + 2$
$= -16 + 4 + 10 + 2$
$= 0$
$f(-2) = 0$，这意味着 $x = -2$也是该多项式的根。
现在，
零点之和 $= \frac{-b}{a}=\frac{-1}{2}$。
$f(x)$的零点之和$=\frac{1}{2} + 1 – 2 = – \frac{1}{2}$
两两相乘的零点之和$=\frac{c}{a}=\frac{-5}{2}$。
两两相乘的零点之和$=(\frac{1}{2} \times 1) + (1 \times -2) + (\frac{1}{2} \times-2) = \frac{-5}{ 2}$。
零点之积 $= \frac{– d}{a}=\frac{-2}{2}=-1$。
零点之积$=\frac{1}{2} \times 1 \times (– 2) = -1$。
因此，零点和系数之间的关系得到验证。
(ii) 令 $g(x) = x^3 -4 x^2+ 5x - 2$
将给定的多项式与三次多项式的标准形式进行比较，
$a=1$，$b=-4$，$c=5$ 和 $d=-2$
此外，
如果α是给定多项式$f(x)$的根，则$f(α)=0$。
因此，
对于 $x = 2$
$g(2) = (2)^3 -4(2)^2 +5(2) - 2$
$= 8-4(4)+10-2 = 0$
$=8-16+10-2$
$=18-18$
$=0$
$g(2) = 0$，这意味着 $x =2$是该多项式的根。
对于 $x = 1$
$g(1) = (1)^3 -4(1)^2 + 5(1) -2$
$= 1 -4+ 5 -2$
$= 0$
$g(1) = 0$，这意味着 $x = 1$也是该多项式的根。
现在，
零点之和 $= \frac{-b}{a}=\frac{-(-4)}{1}=4$。
$f(x)$的零点之和$=2+ 1 +1 = 4$。
两两相乘的零点之和$=\frac{c}{a}=\frac{5}{1}=5$。
两两相乘的零点之和$=(2\times 1) + (1 \times 1) + (2\times1) = 5$。
零点之积 $= \frac{– d}{a}=\frac{-(-2)}{1}=2$。
零点之积$=2\times 1 \times1= 2$。
因此，零点和系数之间的关系得到验证。
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