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(i) (3x+7)2−84x=(3x−7)2
(ii) (9a−5b)2+180ab=(9a+5b)2
(iii) (4m3−3n4)2+2mn=16m29+9n216
(iv) (4pq+3q)2−(4pq−3q)2=48pq2
(v) (a−b)(a+b)+(b−c)(b+c)+(c−a)(c+a)=0
要做的事情
我们必须证明
(i) (3x+7)2−84x=(3x−7)2
(ii) (9a−5b)2+180ab=(9a+5b)2
(iii) (4m3−3n4)2+2mn=16m29+9n216
(iv) (4pq+3q)2−(4pq−3q)2=48pq2
(v) (a−b)(a+b)+(b−c)(b+c)+(c−a)(c+a)=0
解决方案
为了证明每种情况下 LHS = RHS，我们可以使用以下代数恒等式
(a+b)2=a2+2ab+b2.............(I)
(a−b)2=a2−2ab+b2.............(II)
(a+b)(a−b)=a2−b2................(III)
(i) 给定的方程是 (3x+7)2−84x=(3x−7)2
让我们考虑 LHS，
(3x+7)2−84x=(3x)2+2(3x)(7)+(7)2−84x [使用 (I)]
(3x+7)2−84x=9x2+42x+49−84x
(3x+7)2−84x=9x2+42x−84x+49
(3x+7)2−84x=9x2−42x+49
(3x+7)2−84x=(3x)2−2(3x)(7)+(7)2
(3x+7)2−84x=(3x−7)2 [使用 (II)]
LHS = RHS
因此得证
(ii) 给定的方程是 (9a−5b)2+180ab=(9a+5b)2
让我们考虑 LHS，
(9a−5b)2+180ab=(9a)2−2(9a)(5b)+(5b)2+180ab [使用 (II)]
(9a−5b)2+180ab=(9a)2−90ab+(5b)2+180ab
(9a−5b)2+180ab=(9a)2−90ab+180ab+(5b)2
(9a−5b)2+180ab=(9a)2+90ab+(5b)2
(9a−5b)2+180ab=(9a)2+2(9a)(5b)+(5b)2
(9a−5b)2+180ab=(9a+5b)2 [使用 (I)]
LHS = RHS
因此得证
(iii) 给定的方程是 (4m3−3n4)2+2mn=16m29+9n216
让我们考虑 LHS，
(4m3−3n4)2+2mn=(4m3)2−2(4m3)(3n4)+(3n4)2+2mn [使用 (II)]
(4m3−3n4)2+2mn=(4m3)2−2mn+(3n4)2+2mn
(4m3−3n4)2+2mn=(4m)232−2mn+2mn+(3n)242
(4m3−3n4)2+2mn=16m29+9n216
LHS = RHS
因此得证
(iv) 给定的方程是 (4pq+3q)2−(4pq−3q)2=48pq2
让我们考虑 LHS，
(4pq+3q)2−(4pq−3q)2=[(4pq)2+2(4pq)(3q)+(3q)2]−[(4pq)2−2(4pq)(3q)+(3q)2] [使用 (I) 和 (II)]
(4pq+3q)2−(4pq−3q)2=(4pq)2+24pq2+(3q)2−(4pq)2+24pq2−(3q)2
(4pq+3q)2−(4pq−3q)2=(4pq)2−(4pq)2+24pq2+24pq2+(3q)2−(3q)2
(4pq+3q)2−(4pq−3q)2=48pq2
LHS = RHS
因此得证
(v) 给定的方程是 (a−b)(a+b)+(b−c)(b+c)+(c−a)(c+a)=0
让我们考虑 LHS，
(a−b)(a+b)+(b−c)(b+c)+(c−a)(c+a)=a2−b2+b2−c2+c2−a2 [使用 (III)]
(a−b)(a+b)+(b−c)(b+c)+(c−a)(c+a)=a2−a2−b2+b2−c2+c2
(a−b)(a+b)+(b−c)(b+c)+(c−a)(c+a)=0
LHS = RHS
因此得证
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