解下列方程组
$x+y=3.3$
$\frac{0.6}{3 x-2 y}=-1,3 x-2 y ≠ 0$

解题步骤： 

我们需要解出给定的方程组。

解： 

(i) $x+y=3.3$

$\Rightarrow y=3.3-x$......(i)

$\frac{0.6}{3 x-2 y}=-1$

$0.6=-1(3x-2y)$

$0.6=-3x+2y$

$3x=2y-0.6$

$3x=2(3.3-x)-0.6$          [由(i)式]

$3x=6.6-2x-0.6$

$3x+2x=6$

$x=\frac{6}{5}$

$x=1.2$

这意味着：

$y=3.3-1.2$

$y=2.1$

因此，给定方程组的解为 $x=1.2$ 和 $y=2.1$。

(ii) $\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=4$

$\Rightarrow \frac{4x+3y}{12}=4$

$4x+3y=12(4)$

$3y=48-4x$......(i)

$\frac{5x}{6}-\frac{y}{8}=4$

$\Rightarrow \frac{4(5x)-3(y)}{24}=4$

$20x-3y=24(4)$

$20x=96+3y$

$20x=96+48-4x$          [由(i)式]

$20x+4x=144$

$24x=144$

$x=\frac{144}{24}$

$x=6$

这意味着：

$y=\frac{48-4(6)}{3}$

$y=\frac{24}{3}$

$y=8$

因此，给定方程组的解为 $x=6$ 和 $y=8$。

(iii) $4 x+\frac{6}{y}=15$

设 $\frac{1}{y}=u$

这意味着：

$4x+6u=15$......(i)

$6 x-\frac{8}{y}=14$

$6x-8u=14$.......(ii)

将(i)式乘以8，(ii)式乘以6，得到：

$8(4x+6u)=8(15)$

$32x+48u=120$.......(iii)

$6(6x-8u)=6(14)$

$36x-48u=84$.........(iv)

将(iii)式和(iv)式相加，得到：

$32x+36x+48u-48u=120+84$

$68x=204$

$x=\frac{204}{68}$

$x=3$

这意味着：

$4(3)+6u=15$

$6u=15-12$

$u=\frac{3}{6}$

$u=\frac{1}{2}$

这意味着：

$y=\frac{1}{\frac{1}{2}}$

$y=2$

因此，给定方程组的解为 $x=3$ 和 $y=2$。 

(iv) $\frac{1}{2 x}-\frac{1}{y}=-1$........(i)

$\frac{1}{x}+\frac{1}{2 y}=8$........(ii)

在(i)和(ii)式中，设 $\frac{1}{x}=u$ 和 $\frac{1}{y}=v$，得到：

$\frac{1}{2} u-v=-1$

$\Rightarrow \frac{u-2 v}{2}=-1$

$\Rightarrow u-2 v=-2$.....(iii)

由(ii)式：

$u+\frac{1}{2} v=8$

$\Rightarrow \frac{2 u+v}{2}=8$

$2u+v=16$......(iv)

将(iv)式乘以2，然后与(iii)式相加，得到：

$u-2v+2(2u+v)=-2+2(16)$

$u+4u-2v+2v=-2+32$

$5u=30$

$u=6$

这意味着：

$6-2v=-2$

$2v=6+2$

$v=\frac{8}{2}$

$v=4$

因此：

$x=\frac{1}{u}=\frac{1}{6}$

$y=\frac{1}{v}=\frac{1}{4}$

(v) $43 x+67 y=-24$......(i)

$67 x+43 y=24$.........(ii)

将(i)式乘以43，(ii)式乘以67，然后将结果相减，得到：

$43(43x+67y)=43(-24)$

$43^2x+43(67)y=24(-43)$.........(iii)

$67(67x+43y)=67(24)$

$67^2x+43(67)y=24(67)$.......(iv)

从(iv)式中减去(iii)式，得到：

$(67^2-43^2)x=24(67+43)$

$(67+43)(67-43)x=24(110)$

$110(24)x=24(110)$

$x=1$

这意味着：

$43(1)+67y=-24$

$67y=-24-43$

$67y=-67$

$y=-1$

因此：

$x=1$

$y=-1$

(vi) $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=a+b$..........(i)

$\frac{x}{a^{2}}+\frac{y}{b^{2}}=2$.........(ii)

将(i)式乘以 $\frac{1}{a}$，然后从(ii)式中减去，得到：

$[\frac{x}{a^{2}}+\frac{y}{b^{2}}]-[\frac{x}{a^{2}}+\frac{y}{a b}]=2-(1+\frac{b}{a})$

$y(\frac{1}{b^{2}}-\frac{1}{a b})=2-1-\frac{b}{a}$

$y(\frac{a-b}{a b^{2}})=1-\frac{b}{a}$

$=(\frac{a-b}{a})$

$y=\frac{a b^{2}}{a}$

$y=b^{2}$

这意味着：

$\frac{x}{a^{2}}+\frac{b^{2}}{b^{2}}=2$

$\frac{x}{a^{2}}=2-1$

$\frac{x}{a^{2}}=1$

$x=a^{2}$

因此，x和y的解分别为 $a^{2}$ 和 $b^{2}$。

(vii) $\frac{2 x y}{x+y}=\frac{3}{2}$

这意味着：

$\frac{x+y}{2 x y}=\frac{2}{3}$

$\frac{x}{x y}+\frac{y}{x y}=\frac{2\times2}{3}$

$\frac{1}{y}+\frac{1}{x}=\frac{4}{3}$.......(i)

$\frac{x y}{2 x-y}=\frac{-3}{10}$

$\frac{2 x-y}{x y}=\frac{-10}{3}$

$\frac{2 x}{x y}-\frac{y}{x y}=\frac{-10}{3}$

$\frac{2}{y}-\frac{1}{x}=\frac{-10}{3}$...........(ii)

设 $\frac{1}{x}=u$ 和 $\frac{1}{y}=v$

这意味着：

$v+u=\frac{4}{3}$.........(iii)

$2 v-u=\frac{-10}{3}$........(iv)

将(iii)式和(iv)式相加，得到：

$3 v=\frac{4}{3}-\frac{10}{3}$

$3v=\frac{4-10}{3}$

$3v=\frac{-6}{3}$

$3 v=-2$

$v=\frac{-2}{3}$

将v的值代入(iii)式，得到：

$\frac{-2}{3}+u =\frac{4}{3}$

$u=\frac{4}{3}+\frac{2}{3}$

$u=\frac{6}{3}$

$u=2$

这意味着：

$x=\frac{1}{u}=\frac{1}{2}$

$y=\frac{1}{v}=\frac{1}{\frac{-2}{3}}$

$y=\frac{-3}{2}$

教程点

更新于：2022年10月10日

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