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法学解下列方程组
\( x+y=3.3 \)
\( \frac{0.6}{3 x-2 y}=-1,3 x-2 y ≠ 0 \)
解题步骤：
我们需要解出给定的方程组。
解：
(i) $x+y=3.3$
$\Rightarrow y=3.3-x$......(i)
$\frac{0.6}{3 x-2 y}=-1$
$0.6=-1(3x-2y)$
$0.6=-3x+2y$
$3x=2y-0.6$
$3x=2(3.3-x)-0.6$ [由(i)式]
$3x=6.6-2x-0.6$
$3x+2x=6$
$x=\frac{6}{5}$
$x=1.2$
这意味着：
$y=3.3-1.2$
$y=2.1$
因此，给定方程组的解为 $x=1.2$ 和 $y=2.1$。
(ii) $\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=4$
$\Rightarrow \frac{4x+3y}{12}=4$
$4x+3y=12(4)$
$3y=48-4x$......(i)
$\frac{5x}{6}-\frac{y}{8}=4$
$\Rightarrow \frac{4(5x)-3(y)}{24}=4$
$20x-3y=24(4)$
$20x=96+3y$
$20x=96+48-4x$ [由(i)式]
$20x+4x=144$
$24x=144$
$x=\frac{144}{24}$
$x=6$
这意味着：
$y=\frac{48-4(6)}{3}$
$y=\frac{24}{3}$
$y=8$
因此，给定方程组的解为 $x=6$ 和 $y=8$。
(iii) $4 x+\frac{6}{y}=15$
设 $\frac{1}{y}=u$
这意味着：
$4x+6u=15$......(i)
$6 x-\frac{8}{y}=14$
$6x-8u=14$.......(ii)
将(i)式乘以8，(ii)式乘以6，得到：
$8(4x+6u)=8(15)$
$32x+48u=120$.......(iii)
$6(6x-8u)=6(14)$
$36x-48u=84$.........(iv)
将(iii)式和(iv)式相加，得到：
$32x+36x+48u-48u=120+84$
$68x=204$
$x=\frac{204}{68}$
$x=3$
这意味着：
$4(3)+6u=15$
$6u=15-12$
$u=\frac{3}{6}$
$u=\frac{1}{2}$
这意味着：
$y=\frac{1}{\frac{1}{2}}$
$y=2$
因此，给定方程组的解为 $x=3$ 和 $y=2$。
(iv) $\frac{1}{2 x}-\frac{1}{y}=-1$........(i)
$\frac{1}{x}+\frac{1}{2 y}=8$........(ii)
在(i)和(ii)式中，设 $\frac{1}{x}=u$ 和 $\frac{1}{y}=v$，得到：
$\frac{1}{2} u-v=-1$
$\Rightarrow \frac{u-2 v}{2}=-1$
$\Rightarrow u-2 v=-2$.....(iii)
由(ii)式：
$u+\frac{1}{2} v=8$
$\Rightarrow \frac{2 u+v}{2}=8$
$2u+v=16$......(iv)
将(iv)式乘以2，然后与(iii)式相加，得到：
$u-2v+2(2u+v)=-2+2(16)$
$u+4u-2v+2v=-2+32$
$5u=30$
$u=6$
这意味着：
$6-2v=-2$
$2v=6+2$
$v=\frac{8}{2}$
$v=4$
因此：
$x=\frac{1}{u}=\frac{1}{6}$
$y=\frac{1}{v}=\frac{1}{4}$
(v) \( 43 x+67 y=-24 \)......(i)
\( 67 x+43 y=24 \).........(ii)
将(i)式乘以43，(ii)式乘以67，然后将结果相减，得到：
$43(43x+67y)=43(-24)$
$43^2x+43(67)y=24(-43)$.........(iii)
$67(67x+43y)=67(24)$
$67^2x+43(67)y=24(67)$.......(iv)
从(iv)式中减去(iii)式，得到：
$(67^2-43^2)x=24(67+43)$
$(67+43)(67-43)x=24(110)$
$110(24)x=24(110)$
$x=1$
这意味着：
$43(1)+67y=-24$
$67y=-24-43$
$67y=-67$
$y=-1$
因此：
$x=1$
$y=-1$
(vi) $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=a+b$..........(i)
$\frac{x}{a^{2}}+\frac{y}{b^{2}}=2$.........(ii)
将(i)式乘以 $\frac{1}{a}$，然后从(ii)式中减去，得到：
$[\frac{x}{a^{2}}+\frac{y}{b^{2}}]-[\frac{x}{a^{2}}+\frac{y}{a b}]=2-(1+\frac{b}{a})$
$y(\frac{1}{b^{2}}-\frac{1}{a b})=2-1-\frac{b}{a}$
$y(\frac{a-b}{a b^{2}})=1-\frac{b}{a}$
$=(\frac{a-b}{a})$
$y=\frac{a b^{2}}{a}$
$y=b^{2}$
这意味着：
$\frac{x}{a^{2}}+\frac{b^{2}}{b^{2}}=2$
$\frac{x}{a^{2}}=2-1$
$\frac{x}{a^{2}}=1$
$x=a^{2}$
因此，x和y的解分别为 $a^{2}$ 和 $b^{2}$。
(vii) $\frac{2 x y}{x+y}=\frac{3}{2}$
这意味着：
$\frac{x+y}{2 x y}=\frac{2}{3}$
$\frac{x}{x y}+\frac{y}{x y}=\frac{2\times2}{3}$
$\frac{1}{y}+\frac{1}{x}=\frac{4}{3}$.......(i)
$\frac{x y}{2 x-y}=\frac{-3}{10}$
$\frac{2 x-y}{x y}=\frac{-10}{3}$
$\frac{2 x}{x y}-\frac{y}{x y}=\frac{-10}{3}$
$\frac{2}{y}-\frac{1}{x}=\frac{-10}{3}$...........(ii)
设 $\frac{1}{x}=u$ 和 $\frac{1}{y}=v$
这意味着：
$v+u=\frac{4}{3}$.........(iii)
$2 v-u=\frac{-10}{3}$........(iv)
将(iii)式和(iv)式相加，得到：
$3 v=\frac{4}{3}-\frac{10}{3}$
$3v=\frac{4-10}{3}$
$3v=\frac{-6}{3}$
$3 v=-2$
$v=\frac{-2}{3}$
将v的值代入(iii)式，得到：
$\frac{-2}{3}+u =\frac{4}{3}$
$u=\frac{4}{3}+\frac{2}{3}$
$u=\frac{6}{3}$
$u=2$
这意味着：
$x=\frac{1}{u}=\frac{1}{2}$
$y=\frac{1}{v}=\frac{1}{\frac{-2}{3}}$
$y=\frac{-3}{2}$
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