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已知：近视患者的远点在眼睛前方 80 厘米处。求：矫正此问题所需的镜片性质和焦距。解答：患者患有近视。并且此患者需要凹透镜来矫正缺陷。镜片应使无穷远处的物体在其远点 80 厘米处成像，以便近视患者能够看到它。镜片的焦距可以通过以下公式获得：镜片焦距公式→$\boxed{P=\frac{1}{f}}$$P\rightarrow$ 镜片焦距$f\rightarrow$ 镜片的焦距已知，$f=-80\ ... 阅读更多
眼睛中视网膜成像→当我们增加物体与眼睛的距离时，眼睛中的像距保持不变。这是因为，对于正常眼睛，像距是固定的，等于视网膜到眼睛晶状体的距离。调节能力→当我们增加物体与眼睛的距离时，由于眼睛的调节能力，眼睛晶状体的焦距会发生变化，以保持像距恒定，并且图像会形成在... 阅读更多
行星不会闪烁：星星会闪烁，但行星不会闪烁。星星的闪烁仅仅是一种视觉错觉。实际上，星星不会闪烁，它们看起来像是在闪烁，这是由于大气折射造成的。行星不闪烁的原因：以下是一些解释为什么行星不会闪烁而星星会闪烁的原因。与星星相比，行星离地球更近，因此我们看起来它们很大。不断变化的大气不会导致来自行星的光发生很多偏差。因此，行星的亮度保持不变，因此它们不会... 阅读更多
太阳在清晨呈红色是由于以下原因：太阳在清晨或日出时呈红色。这是由于大气中存在的空气分子和其他细小颗粒对光的散射造成的。清晨，在日出时，太阳仍然在地平线以下，因此来自太阳的光在到达我们的眼睛之前，会穿过较厚的大气层和较长的距离。大部分蓝光和其他较短波长的光会被大气中的颗粒散射掉，... 阅读更多
天空看起来是蓝色的原因：当阳光照射到地球大气层时，它会通过空气、气体和微粒向各个方向散射。由于波长较短，蓝光首先到达我们的眼睛。所以天空看起来是蓝色的。宇航员看到的太空是黑色的而不是蓝色的原因：以下原因解释了为什么宇航员看到的太空是黑色的而不是蓝色的：太空中没有大气层。由于没有大气层，外太空没有光的散射。大气介质非常稀薄，因此光的散射... 阅读更多
已知：$sin\ A = \frac{3}{4}$。求解：我们需要找到 $cos\ A$ 和 $tan\ A$。解答：在直角三角形 $ABC$ 中，设 $\angle B = 90^\circ$，$sin\ A = \frac{3}{4}$。我们知道，在以 $B$ 为直角的直角三角形 $ABC$ 中，根据勾股定理，$AC^2=AB^2+BC^2$根据三角比定义，$sin\ A=\frac{对边}{斜边}=\frac{BC}{AC}$$cos\ A=\frac{邻边}{斜边}=\frac{AB}{AC}$$tan\ A=\frac{对边}{邻边}=\frac{BC}{AB}$这里，$AC^2=AB^2+BC^2$$\Rightarrow (4)^2=(AB)^2+(3)^2$$\Rightarrow 16=(AB)^2+9$$\Rightarrow AB=\sqrt{16-9}=\sqrt7$因此，$cos\ A=\frac{AB}{AC}$$=\frac{\sqrt7}{4}$$tan\ A=\frac{BC}{AB}$$=\frac{3}{\sqrt7}$ 阅读更多
已知：\( \sec \theta=\frac{13}{12} \)求解：我们需要找到其他三角函数的值。解答：我们知道，在以 $B$ 为直角的直角三角形 $ABC$ 中，根据勾股定理，$AC^2=AB^2+BC^2$根据三角比定义，$sin\ A=\frac{对边}{斜边}=\frac{BC}{AC}$$cos\ A=\frac{邻边}{斜边}=\frac{AB}{AC}$$tan\ A=\frac{对边}{邻边}=\frac{BC}{AB}$$cosec\ A=\frac{斜边}{对边}=\frac{AC}{BC}$$sec\ A=\frac{斜边}{邻边}=\frac{AC}{AB}$$cot\ A=\frac{邻边}{对边}=\frac{AB}{BC}$这里，设 $sec\ \theta=\frac{AC}{AB}=\frac{13}{12}$$AC^2=AB^2+BC^2$$\Rightarrow (13)^2=(12)^2+(BC)^2$$\Rightarrow BC^2=169-144$$\Rightarrow BC=\sqrt{25}=5$因此，$sin\ \theta=\frac{BC}{AC}=\frac{5}{13}$$cos\ \theta=\frac{AB}{AC}=\frac{12}{13}$$tan\ \theta=\frac{BC}{AB}=\frac{5}{12}$$cosec\ \theta=\frac{AC}{BC}=\frac{13}{5}$$cot\ \theta=\frac{AB}{BC}=\frac{12}{5}$ 阅读更多
已知：\( \angle A \) 和 \( \angle B \) 是锐角，并且 \( \cos A=\cos B \)。求解：我们需要证明 \( \angle A=\angle B \)。解答：在直角三角形 $ABC$ 中，设 $\angle C = 90^\circ$，$cos\ A = cos\ B$。我们知道，在以 $C$ 为直角的直角三角形 $ABC$ 中，根据三角比定义，$cos\ A=\frac{邻边}{斜边}=\frac{AC}{AB}$$cos\ B=\frac{邻边}{斜边}=\frac{BC}{AB}$这意味着，$\cos A=\cos B$$\Rightarrow \frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AB}$ $\Rightarrow AC=BC$我们知道，在三角形中，等边对等角。因此，$\angle A=\angle B$证毕。 阅读更多
题目：我们需要计算：\( \frac{(1+\sin \theta)(1-\sin \theta)}{(1+\cos \theta)(1-\cos \theta)} \).(ii) $cot^2\ θ$解答： (i) 我们知道，在直角三角形 $ABC$ 中，其中 $\angle B$ 为直角，根据勾股定理，$AC^2=AB^2+BC^2$根据三角函数的定义，$sin\ A=\frac{对边}{斜边}=\frac{BC}{AC}$$cos\ A=\frac{邻边}{斜边}=\frac{AB}{AC}$这里，令 $cot\ \theta=\frac{AB}{BC}=\frac{7}{8}$$AC^2=AB^2+BC^2$$\Rightarrow AC^2=(7)^2+(8)^2$$\Rightarrow AC^2=49+64$$\Rightarrow AC=\sqrt{113}$因此，$sin\ \theta=\frac{BC}{AC}=\frac{8}{\sqrt{113}}$$cos\ \theta=\frac{AB}{AC}=\frac{7}{\sqrt{113}}$ $\frac{(1+\sin \theta)(1-\sin \theta)}{(1+\cos \theta)(1-\cos \theta)}=\frac{( 1+\frac{8}{\sqrt{113}})( 1-\frac{8}{\sqrt{113}})}{( 1+\frac{7}{\sqrt{113}})( 1-\frac{7}{\sqrt{113}})}$$=\frac{( 1)^{2} -(\frac{8}{\sqrt{113}})^{2}}{( 1)^{2} -(\frac{7}{\sqrt{113}})^{2}}$$=\frac{1-\frac{64}{113}}{1-\frac{49}{113}}$$=\frac{\frac{113-64}{113}}{\frac{113-49}{113}}$$=\frac{49}{64}$因此， $\frac{(1+\sin \theta)(1-\sin \theta)}{(1+\cos \theta)(1-\cos \theta)}=\frac{49}{64}$. (ii) 我们知道，$a^2=(a)^2$因此，$cot^2 \theta=(cot \theta)^2$$=(\frac{7}{8})^2$$=\frac{7^2}{8^2}$$=\frac{49}{64}$因此，$cot^2 \theta=\frac{49}{64}$. 阅读更多