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已知：赢得游戏的概率为 $0.999$。要求：求输的概率。解：输掉游戏的概率 $=1-$ 赢得游戏的概率 $=1−0.999$ $=0.001$ 因此，输掉游戏的概率为 $0.001$。
已知：赢得游戏的概率为 $0.990$。要求：求输的概率。解：输掉游戏的概率 $=1-$ 赢得游戏的概率 $=1−0.990$ $=0.01$ 因此，输掉游戏的概率为 $0.01$。
已知：一个二次函数的零点之和为 $3$，零点之积为 $-6$。要求：写出该二次函数 $f( x)$。解：设 $\alpha$ 和 $\beta$ 是该二次函数的零点，则 $( \alpha+\beta)=3$ $\alpha\beta=-6$ 所需的多项式为 $f( x)=x^2-( \alpha+\beta)x+\alpha\beta$ $f( x)=x^2-3x-6$
已知：一个圆的半径为 $7\ cm$。要求：求圆的周长。解：已知，半径 $r=7\ cm$ 因此，周长 $=2 \pi r$ $=2\pi \times 7$ $=2\times \frac{22}{7}\times 7$ $=2\times 22\times 1$ $=44\times 1$ $=44\ cm$ 因此，圆的周长为 $44\ cm$。
已知：一个圆的半径为 $49\ cm$。要求：求圆的周长。解：已知，半径 $r=49\ cm$ 因此，周长 $=2 \pi r$ $=2\pi \times 49$ $=2\times \frac{22}{7}\times 49$ $=2\times 22\times 7$ $=44\times 7$ $=308\ cm$ 因此，圆的周长为 $308\ cm$ 。
已知：一个圆的半径为 $77\ cm$。要求：求圆的周长。解：已知，半径 $r=77\ cm$ 因此，周长 $=2 \pi r$ $=2\pi \times 77$ $=2\times \frac{22}{7}\times 77$ $=2\times 22\times 11$ $=44\times 11$ $=484\ cm$ 因此，圆的周长为 $484\ cm$。
已知：$\frac{6-4 \sqrt{2}}{6+4 \sqrt{2}}$。要求：化简 $\frac{6-4 \sqrt{2}}{6+4 \sqrt{2}}$。解：$\frac{6-4 \sqrt{2}}{6+4 \sqrt{2}}$ 在分子和分母上乘以 $( 6-4\sqrt{2})$ $=\frac{6-4 \sqrt{2}}{6+4 \sqrt{2}}\times\frac{6-4 \sqrt{2}}{6-4 \sqrt{2}}$ $=\frac{( 6-4 \sqrt{2})^2}{6^2-( 4\sqrt{2})^2}$ [$\because ( a-b)( a-b)=( a-b)^2$ 和 $( a-b)( a+b)=a^2-b^2$] $=\frac{6^2-2\times6\times4\sqrt{2}+( 4\sqrt{2})^2}{36-4\times4\times2}$ $=\frac{36-48\sqrt{2}+32}{36-32}$ $=\frac{68-48\sqrt{2}}{4}$ $=\frac{4( 17-12\sqrt{2})}{4}$ $=17-12\sqrt{2}$
要求：我们需要证明 \( \left(1-\cos ^{2} A\right) \operatorname{cosec}^{2} A=1 \)。解：我们知道，$ \sin ^{2} A+\cos ^{2} A=1$.......(i)$\sin ^{2} A\times\operatorname{cosec}^{2} A=1$.......(ii)因此，$\left(1-\cos ^{2} A\right) \operatorname{cosec}^{2} A=(\sin ^{2} A)(\operatorname{cosec}^{2} A)$ (来自 (i))$=\sin ^{2} A\times\operatorname{cosec}^{2} A$ (来自 (ii))$=1$证毕。
要求：我们需要证明 \( \left(1+\cot ^{2} A\right) \sin ^{2} A=1 \)。解：我们知道，$ \operatorname{cosec}^{2} A-\cot ^{2} A=1$.......(i)$\sin ^{2} A\times\operatorname{cosec}^{2} A=1$.......(ii)因此，$\left(1+\cot ^{2} A\right) sin ^{2} A=(\operatorname{cosec}^{2} A)(\sin ^{2} A)$ (来自 (i))$=\sin ^{2} A\times\operatorname{cosec}^{2} A$ (来自 (ii))$=1$证毕。