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题目：我们必须证明 \( \tan ^{2} \theta \cos ^{2} \theta=1-\cos ^{2} \theta \)。 解答：我们知道，$ \tan ^{2} A=\frac{\sin ^{2} A}{\cos ^{2} A}$.......(i)$\sin ^{2} A+cos ^{2} A=1$.......(ii)因此，$\tan ^{2} \theta \cos ^{2} \theta=\frac{\sin ^{2} \theta}{\cos ^{2} \theta}(\cos ^{2} \theta)$ (根据 (i))$=\sin ^{2} \theta$$=1-cos ^{2} \theta$ (根据 (ii)) 证毕。
题目：我们必须证明 \( \operatorname{cosec} \theta \sqrt{1-\cos ^{2} \theta}=1 \)。解答：我们知道，$\sin ^{2} A+cos ^{2} A=1$.......(i)$ \sin\ A\times\operatorname{cosec} A=1$.......(ii)因此，$\operatorname{cosec} \theta \sqrt{1-\cos ^{2} \theta}=\operatorname{cosec} \theta \sqrt{\sin ^{2} \theta}$ (根据 (i))$=\operatorname{cosec} \theta \sin \theta$$=1$ (根据 (ii)) 证毕。
题目：我们必须证明 \( \left(\sec ^{2} \theta-1\right)\left(\operatorname{cosec}^{2} \theta-1\right)=1 \)。 解答：我们知道，$\sec ^{2} A-tan ^{2} A=1$.......(i)$\operatorname{cosec}^{2} A-cot ^{2} A=1$.......(ii)$ \tan ^2 A\times\cot ^2 A=1$.......(iii) 因此，$\left(\sec ^{2} \theta-1\right)\left(\operatorname{cosec}^{2} \theta-1\right)=(\tan ^{2} \theta)(\cot ^{2} \theta)$ (根据 (i) 和 (ii))$=\tan ^{2} \theta \times \cot ^{2} \theta$$=1$ (根据 (iii)) 证毕。
题目：我们必须证明 \( \tan \theta+\frac{1}{\tan \theta}=\sec \theta \operatorname{cosec} \theta \)。 解答：我们知道，$\sec ^{2} A-tan ^{2} A=1$.......(i)$ \tan A=\frac{\sin\ A}{\cos\ A}=\frac{\sec\ A}{\operatorname{cosec} A}$.......(ii) 因此，$\tan \theta+\frac{1}{\tan \theta}=\frac{\tan ^{2} \theta+1}{\tan \theta}$$=\frac{\sec ^{2} \theta}{\tan \theta}$ (根据 (i))$=\sec \theta \times \frac{\sec \theta}{\sec \theta} \times \operatorname{cosec} \theta$ (根据 (ii))$=\sec \theta \operatorname{cosec} \theta$ 证毕。
题目：我们必须证明 \( \frac{\cos \theta}{1-\sin \theta}=\frac{1+\sin \theta}{\cos \theta} \)。 解答：我们知道，$\sin ^{2} A+cos ^{2} A=1$.......(i)因此，$\frac{\cos \theta}{1-\sin \theta}=\frac{\cos \theta}{1-\sin \theta}\times \frac{1+\sin \theta}{1+\sin \theta}$ (用 $1+\sin \theta$ 乘以分子分母)$=\frac{(\cos \theta)(1+\sin \theta)}{(1-\sin \theta)(1+\sin \theta)}$$=\frac{(\cos \theta)(1+\sin \theta)}{1^2-\sin^2 \theta}$$=\frac{(\cos \theta)(1+\sin \theta)}{1-\sin^2 \theta}$$=\frac{(\cos \theta)(1+\sin \theta)}{\cos^2 \theta}$ (根据 (i))$=\frac{1+\sin \theta}{\cos \theta}$ 证毕。
题目：我们必须证明 \( \frac{\cos \theta}{1+\sin \theta}=\frac{1-\sin \theta}{\cos \theta} \)。解答：我们知道， $\sin ^{2} A+cos ^{2} A=1$.......(i)因此， $\frac{\cos \theta}{1+\sin \theta}=\frac{\cos \theta}{1+\sin \theta}\times \frac{1-\sin \theta}{1-\sin \theta}$ (用 $1-\sin \theta$ 乘以分子分母)$=\frac{(\cos \theta)(1-\sin \theta)}{(1-\sin \theta)(1+\sin \theta)}$$=\frac{(\cos \theta)(1-\sin \theta)}{1^2-\sin^2 \theta}$$=\frac{(\cos \theta)(1-\sin \theta)}{1-\sin^2 \theta}$$=\frac{(\cos \theta)(1-\sin \theta)}{\cos^2 \theta}$ (根据 (i))$=\frac{1-\sin \theta}{\cos \theta}$ 证毕。 阅读更多
题目：我们必须证明 \( \cos ^{2} A+\frac{1}{1+\cot ^{2} A}=1 \)。解答：我们知道，$\operatorname{cosec} ^{2} A-cot ^{2} A=1$.......(i)$ \sin A=\frac{1}{\operatorname{cosec} A}$.......(ii)$\sin ^{2} A+\cos ^{2} A=1$.......(iii)因此，$\cos ^{2} A+\frac{1}{1+\cot ^{2} A}=\cos ^{2} A+\frac{1}{\operatorname{cosec} ^{2} A}$ (根据 (i))$=\cos ^{2} A+\sin ^{2} A$ (根据 (ii))$=1$ (根据 (iii)) 证毕。
题目：我们必须证明 \( \sin ^{2} A+\frac{1}{1+\tan ^{2} A}=1 \)。解答：我们知道，$\sec ^{2} A-tan ^{2} A=1$.......(i)$ \cos A=\frac{1}{\sec A}$.......(ii)$\sin ^{2} A+\cos ^{2} A=1$.......(iii)因此，$\sin ^{2} A+\frac{1}{1+\tan ^{2} A}=\sin ^{2} A+\frac{1}{\sec ^{2} A}$ (根据 (i))$=\sin ^{2} A+\cos ^{2} A$ (根据 (ii))$=1$ (根据 (iii)) 证毕。
已知：一艘轮船顺流而下，在 4 小时内行驶在两个港口之间的距离，而逆流而上行驶相同的距离则需要 6 小时。水流速度为 2 公里/小时。题目：求轮船的速度。解答：设轮船在静水中的速度为 x 公里/小时。那么，顺流速度 = (x+2) 公里/小时，逆流速度 = (x-2) 公里/小时。已知，顺流 4 小时行驶的距离 = 逆流 6 小时行驶的距离$\because 4( x+2)=6( x-2)$ [$\because distance=speed\times time$]$\Rightarrow 4x+8=6x-12$$\Rightarrow 4x-6x=-12-8$ $\Rightarrow -2x=-20$ ... 阅读更多
已知：数字 16160。题目：求从该数字中减去的最小数字，使其成为完全平方数。解答：使用长除法：这里我们发现 16160 比 $127^2$ 大 31。因此，应该从 16160 中减去 31 以使其成为完全平方数。