证明以下三角恒等式：\( \left(\sec ^{2} \theta-1\right)\left(\operatorname{cosec}^{2} \theta-1\right)=1 \)

待办事项

我们需要证明\( \left(\sec ^{2} \theta-1\right)\left(\operatorname{cosec}^{2} \theta-1\right)=1 \).

解答：我们知道：

$\sec ^{2} A-\tan ^{2} A=1$.......(i)

$\operatorname{cosec}^{2} A-\cot ^{2} A=1$.......(ii)

$\tan ^2 A\times\cot ^2 A=1$.......(iii)

因此：

$\left(\sec ^{2} \theta-1\right)\left(\operatorname{cosec}^{2} \theta-1\right)=(\tan ^{2} \theta)(\cot ^{2} \theta)$       (由(i)和(ii)可得)

$=\tan ^{2} \theta \times \cot ^{2} \theta$

$=1$              (由(iii)可得)

证毕。 

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更新于：2022年10月10日

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