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要求：我们需要证明 \( \frac{1+\cos A}{\sin ^{2} A}=\frac{1}{1-\cos A} \)。解：我们知道，$\sin ^{2} \theta+\cos^2 \theta=1$.......(i)$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.........(ii)因此，$\frac{1+\cos A}{\sin ^{2} A}=\frac{1+\cos A}{1-\cos ^{2} A}$ [来自 (i)]$=\frac{1+\cos A}{1^2-\cos ^{2} A}$ $=\frac{1+\cos A}{(1+\cos A)(1-\cos A)}$ [来自 (ii)] $=\frac{1}{1-\cos A}$证毕。
要求：我们需要证明 \( \frac{\sec A-\tan A}{\sec A+\tan A}=\frac{\cos ^{2} A}{(1+\sin A)^{2}} \)。解：我们知道， $\sin ^{2} A+\cos^2 A=1$.......(i)$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}$.........(ii)$\sec A=\frac{1}{\cos A}$........(iii)因此， $\frac{\sec A-\tan A}{\sec A+\tan A}=\frac{\frac{1}{\cos A}-\frac{\sin A}{\cos A}}{\frac{1}{\cos A}+\frac{\sin A}{\cos A}}$ $=\frac{\frac{1-\sin A}{\cos A}}{\frac{1+\sin A}{\cos A}}$ $=\frac{1-\sin A}{\cos A} \times \frac{\cos A}{1+\sin A}$ $=\frac{1-\sin A}{1+\sin A}$乘以和除以 ($1+\sin A$)，得到， $=\frac{(1-\sin A)(1+\sin A)}{(1+\sin A)(1+\sin A)}$ $=\frac{1-\sin ^{2} A}{(1+\sin A)^{2}}$$=\frac{\cos ^{2} A}{(1+\sin A)^{2}}$证毕。 阅读更多
要求：我们需要证明 \( \frac{1+\cos A}{\sin A}=\frac{\sin A}{1-\cos A} \)。解：我们知道，$\sin ^{2} A+\cos^2 A=1$.......(i)因此，$\frac{1+\cos A}{\sin A}=\frac{1+\cos A}{\sin A} \times \frac{1-\cos A}{1-\cos A}$ (乘以和除以 $1-\cos A$)$=\frac{1+\cos A(1-\cos A)}{\sin A(1-\cos A)}$$=\frac{1^2-\cos^2 A}{\sin A(1-\cos A)}$$=\frac{\sin^2 A}{\sin A(1-\cos A)}$ [来自 (i)]$=\frac{\sin A}{1-\cos A}$证毕。
要求：我们需要证明 \( \sqrt{\frac{1+\sin A}{1-\sin A}}=\sec A+\tan A \)。解：我们知道，$\sin ^{2} A+\cos^2 A=1$.......(i)$\sec A=\frac{1}{\cos A}$......(ii)$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}$.......(iii)因此，$\sqrt{\frac{1+\sin A}{1-\sin A}}=\sqrt{\frac{(1+\sin A)(1+\sin A)}{(1-\sin A)(1+\sin A)}}$ (乘以和除以 $1+\sin A$)$=\sqrt{\frac{(1+\sin A)^{2}}{1-\sin ^{2} A}}$$=\sqrt{\frac{(1+\sin A)^{2}}{\cos ^{2} A}}$$=\frac{1+\sin A}{\cos A}$$=\frac{1}{\cos A}+\frac{\sin A}{\cos A}$$=\sec A+\tan A$证毕。
要求：我们需要证明 \( \sqrt{\frac{1-\cos A}{1+\cos A}}+\sqrt{\frac{1+\cos A}{1-\cos A}}=2 \operatorname{cosec} A \)。解：我们知道， $\sin ^{2} A+\cos^2 A=1$.......(i)$\operatorname{cosec} A=\frac{1}{\sin A}$......(ii)因此， $\sqrt{\frac{1-\cos \mathrm{A}}{1+\cos \mathrm{A}}} +\sqrt{\frac{1+\cos \mathrm{A}}{1-\cos \mathrm{A}}}=\sqrt{\frac{(1-\cos A)(1-\cos A)}{(1+\cos A)(1-\cos A)}}+\sqrt{\frac{(1+\cos A)(1+\cos A)}{(1-\cos A)(1+\cos A)}}$ (有理化分母)$=\sqrt{\frac{(1-\cos A)^{2}}{1-\cos ^{2} A}}+\sqrt{\frac{(1+\cos A)^{2}}{1-\cos ^{2} A}}$$=\sqrt{\frac{(1-\cos A)^{2}}{\sin ^{2} A}}+\sqrt{\frac{(1+\cos A)^{2}}{\sin ^{2} A}}$$=\frac{1-\cos A}{\sin A}+\frac{1+\cos A}{\sin A}$$=\frac{1-\cos A+1+\cos A}{\sin A}$$=\frac{2}{\sin A}$$=2 \operatorname{cosec} A$证毕。 阅读更多
要求：我们需要证明 \( \sqrt{\frac{\sec \theta-1}{\sec \theta+1}}+\sqrt{\frac{\sec \theta+1}{\sec \theta-1}}=2 \operatorname{cosec} \theta \)。解：我们知道， $\sin ^{2} A+\cos^2 A=1$.......(i)$\operatorname{cosec} A=\frac{1}{\sin A}$......(ii)因此， $\sqrt{\frac{\sec \theta-1}{\sec \theta+1}}+\sqrt{\frac{\sec \theta+1}{\sec \theta-1}}=\sqrt{\frac{(\sec \theta -1)}{(\sec \theta +1)} \times \frac{(\sec \theta +1)}{(\sec \theta +1)}} +\sqrt{\frac{(\sec \theta +1)}{(\sec \theta -1)} \times \frac{(\sec \theta -1)}{(\sec \theta -1)}}$$=\sqrt{\frac{\left(\sec^{2} \theta -1\right)}{(\sec \theta +1)^{2}}} +\sqrt{\frac{\left(\sec^{2} \theta -1\right)}{(\sec \theta -1)^{2}}}$$=\frac{\sqrt{\tan^{2} \theta }}{\sec \theta +1} +\frac{\sqrt{\tan^{2} \theta }}{\sec \theta -1}$$=\frac{\tan \theta }{\sec \theta +1} +\frac{\tan \theta }{\sec \theta -1}$$=\frac{\frac{\sin \theta }{\cos \theta }}{\frac{1}{\cos \theta } +1} +\frac{\frac{\sin \theta }{\cos \theta }}{\frac{1}{\cos \theta } -1}$$=\frac{\frac{\sin \theta }{\cos \theta }}{\frac{1+\cos \theta }{\cos \theta }} +\frac{\frac{\sin \theta }{\cos \theta }}{\frac{1-\cos \theta }{\cos \theta }}$$=\frac{\sin \theta }{1+\cos ... 阅读更多
要求：我们需要证明 \( \sqrt{\frac{1+\sin \theta}{1-\sin \theta}}+\sqrt{\frac{1-\sin \theta}{1+\sin \theta}}=2 \sec \theta \)。解：我们知道， $\sin ^{2} A+\cos^2 A=1$.......(i)$\operatorname{cosec} A=\frac{1}{\sin A}$......(ii)因此， $\sqrt{\frac{1+\sin \theta}{1-\sin \theta}}+\sqrt{\frac{1-\sin \theta}{1+\sin \theta}}=\sqrt{\frac{(1+\sin \theta)(1+\sin \theta)}{(1-\sin \theta)(1+\sin \theta)}}+\sqrt{\frac{(1-\sin \theta)(1-\sin \theta)}{(1+\sin \theta)(1-\sin \theta)}}$$=\sqrt{\frac{(1+\sin \theta)^{2}}{1-\sin ^{2} \theta}}+\sqrt{\frac{(1-\sin \theta)^{2}}{1-\sin ^{2} \theta}}$$=\sqrt{\frac{(1+\sin \theta)^{2}}{\cos ^{2} \theta}}+\sqrt{\frac{(1-\sin \theta)^{2}}{\cos ^{2} \theta}}$$=\frac{1+\sin \theta}{\cos \theta}+\frac{1-\sin \theta}{\cos \theta}$$=\frac{1+\sin \theta+1-\sin \theta}{\cos \theta}=\frac{2}{\cos \theta}$$=2 \sec \theta$证毕。 阅读更多
要求：我们需要证明 \( \sqrt{\frac{1+\cos \theta}{1-\cos \theta}}+\sqrt{\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}}=2 \operatorname{cosec} \theta \)。解：我们知道， $\sin ^{2} A+\cos^2 A=1$.......(i)$\operatorname{cosec} A=\frac{1}{\sin A}$......(ii)因此， $=\sqrt{\frac{1+\cos \theta}{1-\cos \theta}}+\sqrt{\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}}$$=\sqrt{\frac{(1+\cos \theta)(1+\cos \theta)}{(1-\cos \theta)(1+\cos \theta)}}$$=\sqrt{\frac{(1+\cos \theta)^{2}}{1-\cos ^{2} \theta}}+\sqrt{\frac{(1-\cos \theta)^{2}}{1-\cos ^{2} \theta}}$$=\sqrt{\frac{(1-\cos \theta)(1-\cos \theta)}{(1+\cos \theta)(1-\cos \theta)}}$$=\frac{1+\cos \theta}{\sin \theta}+\frac{1-\cos \theta}{\sin \theta}$$=\frac{1+\cos \theta+1-\cos \theta}{\sin \theta}$$=\frac{2}{\sin \theta}$$=2 \operatorname{cosec} \theta$证毕。 阅读更多
要求：我们需要证明 \( \frac{\sec \theta-1}{\sec \theta+1}=\left(\frac{\sin \theta}{1+\cos \theta}\right)^{2} \)。解：我们知道，$\sin ^{2} A+\cos^2 A=1$.......(i)$\operatorname{cosec} A=\frac{1}{\sin A}$......(ii)因此，$=\frac{\sec \theta-1}{\sec \theta+1}=\frac{\frac{1}{\cos \theta}-1}{\frac{1}{\cos \theta}+1} $$=\frac{\frac{(1-\cos \theta)}{\cos \theta}}{\frac{(1+\cos \theta)}{\cos \theta}}$$=\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}$$=\frac{(1-\cos \theta)(1+\cos \theta)}{(1+\cos \theta)(1+\cos \theta)}$$=\frac{\left(1-\cos ^{2} \theta\right)}{(1+\cos \theta)^{2}}$$=\frac{\sin ^{2} \theta}{(1+\cos \theta)^{2}}$$=\left(\frac{\sin \theta}{1+\cos \theta}\right)^{2}$证毕。
**已知：**表达式：$\frac{9x+0.5}{5}-\frac{2x+3}{4}=0$。**要求：**解方程 $\frac{9x+0.5}{5}-\frac{2x+3}{4}=0$。**解：** $\frac{9x+0.5}{5}-\frac{2x+3}{4}=0$$\Rightarrow \frac{4( 9x+0.5)-5( 2x+3)}{20}=0$$\Rightarrow 36x+2-10x-15=0$$\Rightarrow 26x-13=0$$\Rightarrow 26x=13$$\Rightarrow x=\frac{13}{26}$$\Rightarrow x=\frac{1}{2}$因此，$x=\frac{1}{2}$。