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解题：我们需要证明 \( \tan ^{2} \theta-\sin ^{2} \theta=\tan ^{2} \theta \sin ^{2} \theta \)。解：我们知道，$\tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}$........(i)$\sin^2 \theta+cos ^{2} \theta=1$.......(ii)因此，$\tan ^{2} \theta-\sin ^{2} \theta=\frac{\sin ^{2} \theta}{\cos^2 \theta}-\sin ^{2} \theta$ (根据 (i))$=\frac{\sin ^{2} \theta-\sin ^{2} \theta\cos ^{2} \theta}{\cos^2 \theta}$$=\frac{\sin ^{2} \theta(1-\cos ^{2} \theta)}{\cos^2 \theta}$ $=\sin ^{2} \theta (\frac{\sin ^{2} \theta}{\cos^2 \theta})$ (根据 (ii))$=\sin ^{2} \theta \times \tan ^{2} \theta$ $=\tan ^{2} \theta\sin ^{2} \theta$证毕。
证明以下三角恒等式：\( (\sec \theta+\cos \theta)(\sec \theta-\cos \theta)=\tan ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta \)
解题：我们需要证明 \( (\sec \theta+\cos \theta)(\sec \theta-\cos \theta)=\tan ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta \)。解：我们知道，$\sec^2 \theta-\tan^2 \theta=1$........(i)$\sin^2 \theta+cos ^{2} \theta=1$.......(ii)因此,$(\sec \theta+\cos \theta)(\sec \theta-\cos \theta)=\sec ^{2} \theta-\cos^2 \theta$ ($(a+b)(a-b)=a^2-b^2$)$=(1+\tan^2 \theta)-(1-\sin^2 \theta)$ (根据 (i) 和 (ii))$=1-1+\tan^2 \theta+\sin^2 \theta$ $=\tan^2 \theta+\sin^2 \theta$ 证毕。
解题：我们需要证明 \( (\operatorname{cosec} \theta+\sin \theta)(\operatorname{cosec} \theta-\sin \theta)=\cot ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta \)。解：我们知道，$\operatorname{cosec}^2 \theta-\cot^2 \theta=1$........(i) $\sin^2 \theta+cos ^{2} \theta=1$.......(ii)因此,$(\operatorname{cosec} \theta+\sin \theta)(\operatorname{cosec} \theta-\sin \theta)=\operatorname{cosec} ^{2} \theta-\sin^2 \theta$ [$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$]$=(1+\cot^2 \theta)-(1-\cos^2 \theta)$ (根据 (i) 和 (ii))$=1-1+\cot^2 \theta+\cos^2 \theta$ $=\cot^2 \theta+\cos^2 \theta$ 证毕。
解题：我们需要证明 \( \sec A(1-\sin A)(\sec A+\tan A)=1 \)。解：我们知道，$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}=\sin A\sec A$.....(i)$\sec^2 A-tan ^{2} A=1$.......(ii)因此，$\sec A(1-\sin A)(\sec A+\tan A)=(\sec A-\sec A\sin A)(\sec A+\tan A)$ $=(\sec A-\tan A)(\sec A+\tan A)$ (根据 (i))$=\sec^2 A-tan ^{2} A$ [$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$]$=1$ (根据 (ii))证毕。
解题：我们需要证明 \( (\operatorname{cosec} A-\sin A)(\sec A-\cos A)(\tan A+\cot A)=1 \)。解：我们知道， $\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}$.....(i)$\cot A=\frac{\cos A}{\sin A}$.....(ii)$\operatorname{cosec} A=\frac{1}{\sin A}$.....(iii)$\sec A=\frac{1}{\cos A}$.....(iv)$\sin^2 A+\cos ^{2} A=1$.......(v)因此， $(\operatorname{cosec} A-\sin A)(\sec A-\cos A)(\tan A+\cot A)=(\frac{1}{\sin A}-\sin A)(\frac{1}{\cos A}-\cos A)(\frac{\sin A}{\cos A}+\frac{\cos A}{\sin A})$ $=(\frac{1-\sin^2 A}{\sin A})(\frac{1-cos^2A}{\cos A})(\frac{\sin^2 A+\cos^2A}{\sin A\cos A})$ $=(\frac{\cos^2A}{\sin A})(\frac{sin^2A}{\cos A})(\frac{1}{\sin A\cos A})$ $=\frac{\sin A\cos A}{\sin A\cos A}$ $=1$证毕。 上一页 1 ... 4008 4009 4010 4011 4012 ... 11050 下一页
解题：我们需要证明 \( \left(1+\tan ^{2} \theta\right)(1-\sin \theta)(1+\sin \theta)=1 \)。解：我们知道，$\sin^2 \theta+\cos ^{2} \theta=1$.....(i)$\sec^2 \theta-\tan ^{2} \theta=1$.......(ii)$\sec \theta \times \cos \theta=1$.......(iii)因此，$\left(1+\tan ^{2} \theta\right)(1-\sin \theta)(1+\sin \theta)=\left(1+\tan ^{2} \theta\right)(1^2-\sin^2 \theta)$ [因为 $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$]$=\left(\sec ^{2} \theta\right)(\cos^2 \theta)$ [根据 (i) 和 (ii)]$=(\sec \theta\times cos \theta)^2$ $=1^2$ [根据 (iii)]$=1$证毕。
解题：我们需要证明 \( \sin ^{2} A \cot ^{2} A+\cos ^{2} A \tan ^{2} A=1 \)。解：我们知道，$\cot^2 A=\frac{\cos ^{2} A}{\sin^2 A}$.....(i)$\tan^2 A=\frac{\sin ^{2} A}{\cos^2 A}$.....(ii)$\cos ^{2} A+\sin^2 A=1$.......(iii)因此，$\sin ^{2} A \cot ^{2} A+\cos ^{2} A \tan ^{2} A=\sin ^{2} A(\frac{\cos ^{2} A}{\sin^2 A})+\cos ^{2} A(\frac{\sin ^{2} A}{\cos^2 A}) $ [根据 (i) 和 (ii)]$=\cos ^{2} A+\sin^2 A$ $=1$ [根据 (iii)]证毕。
解题：我们需要证明 \( \cot \theta-\tan \theta=\frac{2 \cos ^{2} \theta-1}{\sin \theta \cos \theta} \)。解：我们知道，$\cot \theta=\frac{\cos \theta}{\sin \theta}$.....(i)$\tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}$.....(ii)$\cos ^{2} \theta+\sin^2 \theta=1$.......(iii)因此，$\cot \theta-\tan \theta=\frac{\cos \theta}{\sin \theta}-\frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ [根据 (i) 和 (ii)]$=\frac{\cos^2 \theta-\sin^2 \theta}{\sin \theta\cos \theta}$ $=\frac{\cos^2 \theta-(1-\cos^2 \theta)}{\sin \theta\cos \theta}$ [根据 (iii)] $=\frac{2\cos^2 \theta-1}{\sin \theta\cos \theta}$ 证毕。
解题：我们需要证明 \( \tan \theta-\cot \theta=\frac{2 \sin ^{2} \theta-1}{\sin \theta \cos \theta} \)。解：我们知道，$\cot \theta=\frac{\cos \theta}{\sin \theta}$.....(i)$\tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}$.....(ii)$\cos ^{2} \theta+\sin^2 \theta=1$.......(iii)因此，$\tan \theta-\cot \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}-\frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ [根据 (i) 和 (ii)]$=\frac{\sin^2 \theta-\cos^2 \theta}{\sin \theta\cos \theta}$ $=\frac{\sin^2 \theta-(1-\sin^2 \theta)}{\sin \theta\cos \theta}$ [根据 (iii)] $=\frac{2\sin^2 \theta-1}{\sin \theta\cos \theta}$ 证毕。
解题：我们需要证明 \( \frac{\sin A-2 \sin ^{3} A}{2 \cos ^{3} A-\cos A}=\tan A \)。解：我们知道，$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}$.....(i)$\cos ^{2} A+\sin^2 A=1$.......(ii)因此，$\frac{\sin A-2 \sin ^{3} A}{2 \cos ^{3} A-\cos A}=\frac{\sin A(1-sin^2 A)}{\cos A(2cos^2 A-1)}$ $=\tan A(\frac{1-2sin^2 A}{2cos^2 A-1})$ [根据 (i)]$=\tan A(\frac{\cos^2 A+\sin^2 A-2\sin^2 A}{2\cos^2 A-\cos^2 A-\sin^2 A})$ [根据 (ii)]$=\tan A(\frac{\cos^2 A-\sin^2 A}{\cos^2 A-\sin^2 A})$ $=\tan A$ 证毕。