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题目：我们需要证明 \( \frac{\cos ^{2} \theta}{\sin \theta}-\operatorname{cosec} \theta+\sin \theta=0 \)。
解答：我们知道，
$\sin \theta\times\operatorname{cosec} \theta=1$.....(i)
$\cos ^{2} \theta+\sin^2 \theta=1$.......(ii)
因此，
$\frac{\cos ^{2} \theta}{\sin \theta}-\operatorname{cosec} \theta+\sin \theta=\frac{\cos ^{2} \theta-\operatorname{cosec} \theta\sin \theta+\sin^2 \theta}{\sin \theta}$
$=\frac{\cos ^{2} \theta+\sin^2 \theta-1}{\sin \theta}$ [来自 (i)]
$=\frac{1-1}{\sin \theta}$ [来自 (ii)] $=0$ 证毕。
题目：我们需要证明 \( \frac{1}{1+\sin A}+\frac{1}{1-\sin A}=2 \sec ^{2} A \)。
解答：我们知道，
$\sec A=\frac{1}{\cos A}$.....(i)
$\cos ^{2} A+\sin^2 A=1$.......(ii)
因此，
$\frac{1}{1+\sin A}+\frac{1}{1-\sin A}=\frac{1-\sin A+1+\sin A}{(1-\sin A)(1+\sin A)}$
$=\frac{2}{1-\sin^2 A}$ $=\frac{2}{\cos^2 A}$ [来自 (ii)] $=2 \sec^2 A$ [来自 (i)]
证毕。
题目：我们需要证明 \( \frac{1+\sin \theta}{\cos \theta}+\frac{\cos \theta}{1+\sin \theta}=2 \sec \theta \)。
解答：我们知道，
$\sec \theta=\frac{1}{\cos \theta}$.....(i)
$\cos ^{2} \theta+\sin^2 \theta=1$.......(ii)
因此，
$\frac{1+\sin \theta}{\cos \theta}+\frac{\cos \theta}{1+\sin \theta}=\frac{(1+\sin \theta)^2+(\cos^2 \theta)}{(\cos \theta)(1+\sin \theta)}$
$=\frac{1+2\sin \theta+\sin^2 \theta+\cos^2 \theta}{\cos \theta(1+\sin \theta)}$ $=\frac{2+2\sin \theta}{\cos \theta(1+\sin \theta)}$ [来自 (ii)] $=\frac{2(1+\sin \theta)}{\cos \theta(1+\sin \theta)}$ $=\frac{2}{\cos \theta}$ $=2 \sec \theta$ [来自 (i)]
证毕。
题目：我们需要证明 \( \frac{(1+\sin \theta)^{2}+(1-\sin \theta)^{2}}{2 \cos ^{2} \theta}=\frac{1+\sin ^{2} \theta}{1-\sin ^{2} \theta} \)。
解答：我们知道，
$\cos ^{2} \theta+\sin^2 \theta=1$.......(i)
因此，
$\frac{(1+\sin \theta)^{2}+(1-\sin \theta)^{2}}{2 \cos ^{2} \theta}=\frac{1+\sin^2 \theta+2\sin \theta+1-2\sin \theta+\sin^2 \theta}{2\cos^2 \theta}$
$=\frac{2+2\sin^2 \theta}{2\cos^2 \theta}$ $=\frac{2(1+\sin^2 \theta)}{2\cos^2 \theta}$ $=\frac{1+\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}$ $=\frac{1+\sin^2 \theta}{1-\sin^2 \theta}$ [来自 (i)]
证毕。
题目：我们需要证明 \( \frac{1+\tan ^{2} \theta}{1+\cot ^{2} \theta}=\left(\frac{1-\tan \theta}{1-\cot \theta}\right)^{2}=\tan ^{2} \theta \)。
解答：我们知道，
$\cos ^{2} \theta+\sin^2 \theta=1$.......(i)
$\sec^2 \theta-\tan^2 \theta=1$.......(ii)
$\operatorname{cosec} ^2 \theta-\cot^2 \theta=1$......(iii)
$\tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}$.........(iv)
$\cot \theta=\frac{\cos \theta}{\sin \theta}$.........(v)
因此，
$\frac{1+\tan ^{2} \theta}{1+\cot ^{2} \theta}=\frac{1+\frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}}{1+\frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta}}$
$=\frac{\frac{\sin^2 \theta+\cos^2 \theta}{\cos^2 \theta}}{\frac{\cos^2 \theta+\sin^2 \theta}{\sin^2 \theta}}$ $=\frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}$ $=\tan^2 \theta$
$(\frac{1-\tan \theta}{1-\cot \theta})^{2}=(\frac{1-\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}{1-\frac{\cos \theta}{\sin \theta}})^{2}$ $=(\frac{\frac{\cos \theta-\sin \theta}{\cos \theta}}{\frac{\sin \theta-\cos \theta}{\sin \theta}})^{2}$
$=(\frac{-\sin \theta}{\cos \theta})^2$
$=(-\tan \theta)^2$
$\quad=\tan^2 \theta$
证毕。阅读更多
题目：我们需要证明 \( \frac{1+\sec \theta}{\sec \theta}=\frac{\sin ^{2} \theta}{1-\cos \theta} \)。
解答：我们知道，
$\cos ^{2} \theta+\sin^2 \theta=1$.......(i)
$\cos \theta=\frac{1}{\sec \theta}$.........(ii)
因此，
$\frac{1+\sec \theta}{\sec \theta}=\frac{1}{\sec \theta}+\frac{\sec \theta}{\sec \theta}$
$=\cos \theta+1$ [来自 (ii)]
将分子和分母同时乘以 ($1-\cos \theta$)，我们得到：
$\cos \theta+1=(1+\cos \theta)\frac{1-\cos \theta}{1-\cos \theta}$ $=\frac{1^2-\cos^2 \theta}{1-\cos \theta}$ $=\frac{1-\cos^2 \theta}{1-\cos \theta}$
$=\frac{\sin^2 \theta}{1-\cos \theta}$ [来自 (i)]
证毕。
题目：我们需要证明 \( \frac{\tan \theta}{1-\cot \theta}+\frac{\cot \theta}{1-\tan \theta}=1+\tan \theta+\cot \theta \)。
解答：我们知道，
$\cos ^{2} \theta+\sin^2 \theta=1$
$\tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}$
$\cot \theta=\frac{\cos \theta}{\sin \theta}$
因此，左边
$=\frac{\tan \theta}{1-\cot \theta}+\frac{\cot \theta}{1-\tan \theta}$
$=\frac{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}{1-\frac{\cos \theta}{\sin \theta}}+\frac{\frac{\cos \theta}{\sin \theta}}{1-\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}$
$=\frac{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}{\frac{\sin \theta-\cos \theta}{\sin \theta}}+\frac{\frac{\cos \theta}{\sin \theta}}{\frac{\cos \theta-\sin \theta}{\cos \theta}}$
$=\frac{\sin \theta}{\cos \theta} \times \frac{\sin \theta}{\sin \theta-\cos \theta}+\frac{\cos \theta}{\sin \theta} \times \frac{\cos \theta}{\cos \theta-\sin \theta}$
…阅读更多
题目：我们需要证明 \( \sec ^{6} \theta=\tan ^{6} \theta+3 \tan ^{2} \theta \sec ^{2} \theta+1 \)。
解答：我们知道，
$\sec ^{2} \theta-\tan^2 \theta=1$.......(i)
$(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$.........(ii)
因此，
$\sec ^{6} \theta=(\sec ^2 \theta)^3$
$=(1+\tan^2 \theta)^3$ [来自 (i)]
$=1^3+(\tan^2 \theta)^3+3(1)(\tan^2 \theta)(1+\tan^2 \theta)$ [来自 (ii)] $=1+\tan^6 \theta+3\tan^2 \theta(1+\tan^2 \theta)$
$=1+\tan^6 \theta+3\tan^2 \theta\sec^2 \theta$ [来自 (i)]
$\quad=\tan ^{6} \theta+3 \tan ^{2} \theta \sec ^{2} \theta+1$
证毕。
题目：我们需要证明 \( \operatorname{cosec}^{6} \theta=\cot ^{6} \theta+3 \cot ^{2} \theta \operatorname{cosec}^{2} \theta+1 \)。
解答：我们知道，
$\operatorname{cosec} ^{2} \theta-\cot^2 \theta=1$.......(i)
$(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$.........(ii)
因此，
$\operatorname{cosec}^{6} \theta=(\operatorname{cosec} ^2 \theta)^3$
$=(1+\cot^2 \theta)^3$ [来自 (i)]
$=1^3+(\cot^2 \theta)^3+3(1)(\cot^2 \theta)(1+\cot^2 \theta)$ [来自 (ii)] $=1+\cot^6 \theta+3\cot^2 \theta(1+\cot^2 \theta)$
$=1+\cot^6 \theta+3\cot^2 \theta\operatorname{cosec}^2 \theta$ [来自 (i)]
$\quad=\cot ^{6} \theta+3 \cot ^{2} \theta \operatorname{cosec}^{2} \theta+1$
证毕。
待证明：\( \frac{\left(1+\tan ^{2} \theta\right) \cot \theta}{\operatorname{cosec}^{2} \theta}=\tan \theta\) 。