作图：三角形

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引言

• 三角形具有三条边和三个角，这两者是构成三角形的重要参数。

• 使用量角器（测量角度）、圆规（绘制给定测量边长的弧）和直尺（测量边长）等几何工具来完成。

• 三角形有多种类型，通过了解一些给定的参数集，可以以不同的方式构造它们。在本教程中，让我们看看三种情况。

三角形的作图

一般来说，当给出以下性质（如 SSS、SAS、ASA 和 RHS（仅适用于直角三角形））时，三角形的作图很容易。

• SSS → 已知三角形的三条边长。

• SAS → 已知两条边长及其夹角。

• ASA → 已知两个角及其夹边长。

• RHS → 在直角三角形中，已知直角、斜边和一条边长。

已知底边、另两边之和以及底边上一个角的情况下作图

情况 - 考虑一个三角形，已知其底边、另两边的和以及底边上的一个角。

在三角形 PQR 中，已知底边长 QR，已知角 Q，并且 PQ + PR 也已知。

• 使用直尺绘制底边 QR，并在顶点 Q 处使用圆规或量角器（如果无法使用圆规）和直尺构造一个角 SQR，其大小等于角 Q。

• 在 Q 点使用圆规，在射线 QS 上截取长度为 PQ + PR 的弧，得到一点 T，然后连接 T 和 R。

• 现在测量角 QTR，然后将 R 处的角分成两部分，使得与 TR 的角等于 QTR，将 R 处的角平分的线应该与射线 QS 相交于 P 点，则 PQR 为所需的三角形。

已知底边、另两边之差以及底边上一个角的情况下作图

情况 - 考虑一个三角形，已知其底边、另两边的差以及底边上的一个角。

在三角形 PQR 中，已知底边长 QR，已知角 Q，并且已知 PQ - PR 或 PR - PQ，现在要构造三角形 PQR，需要遵循以下作图步骤：

可以是 PQ < PR 或 PQ > PR

如果 PQ < PR，则作图步骤为：

• 使用直尺绘制底边 QR，并在顶点 Q 处使用圆规或量角器（如果无法使用圆规）和直尺构造一个角 SQR，其大小等于角 Q。

• 在 Q 点使用圆规，在射线 QS 上截取长度为 PQ - PR 的弧，得到一点 T，然后连接 T 和 R。

• 作 TR 的垂直平分线，它应该与 QS 相交于 P 点，然后连接 P 和 Q 以形成所需的三角形 PQR。

如果 PQ < PR，则作图步骤为：

• 使用直尺绘制底边 QR，并在顶点 Q 处使用圆规或量角器（如果无法使用圆规）和直尺构造一个角 SQR，其大小等于角 Q。

• 在 Q 点使用圆规，在射线 QS 的另一侧截取长度为 PR - PQ 的弧，得到一点 T，然后连接 T 和 R。

• 作 TR 的垂直平分线，它应该与 QS 相交于 P 点，然后连接 P 和 Q 以形成所需的三角形 PQR。

已知周长和两个角的情况下作图

情况 - 考虑一个三角形，已知其周长以及两个角。

在三角形 PQR 中，已知其周长 (PQ + QR + PR) 和角 Q 和 R，现在要构造三角形 PQR，需要遵循以下作图步骤：

• 画一条线段 AB，使得 AB = PQ + QR + PR，在 A 和 B 处作角，使得∠XAB = ∠Q 和∠YBA = ∠R，其中 XA 和 YB 是两条射线。

• 作∠XAB 和∠YBA 的角平分线，并在 P 点相交。

• 现在，作 PX 和 PY 的垂直平分线，它们分别与 AB 相交于 Q 和 R。连接 PQ 和 PR 以形成三角形 PQR。

解题示例

作一个三角形，其底边为 5cm，另两边的和为 10，底边上的一个角为 60 度？

• 设三角形的顶点为 P、Q、R。绘制底边 QR = 5cm

• 在顶点 Q 处构造一个角 SQR = 60 度

• 在 Q 点使用圆规，在射线 QS 上截取长度为 10cm 的弧，得到一点 T，然后连接 T 和 R。

• 现在测量角 QTR，然后将 R 处的角分成两部分，使得与 TR 的角等于 QTR，将 R 处的角平分的线应该与射线 QS 相交于 P 点。

• PQR 是所需的三角形。

结论

在本教程中，我们学习了：

• 已知底边、另两边之和以及底边上一个角的情况下作图。

• 已知底边、另两边之差以及底边上一个角的情况下作图。

• 已知周长和两个角的情况下作图。

常见问题

1. 三角形的周长是多少？

周长等于三角形所有边的和。

2. 作图三角形需要什么？

圆规、直尺和量角器。

3. 三角形的类型有哪些？

三角形有六种类型：等边三角形、等腰三角形、不等边三角形、直角三角形、钝角三角形和锐角三角形。

4. 如何根据给定的三条边长作图三角形？

这是 SSS 性质。画一条线段 PQ，其长度等于三角形最长边的长度。现在，使用直尺测量第二条边的长度，并使用圆规从 P 点画一个弧，从 Q 点也这样做，它应该在 R 点与之前的弧相交。现在连接 P、R 和 Q、R 以形成三角形 PQR。

5. 量角器有什么用？

它用于测量角度。