MATLAB中使用quad函数进行定积分数值计算

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在本教程中，我们将学习如何在MATLAB中使用quad函数计算定积分数值解。但在此之前，让我们首先了解什么是定积分数值计算。

什么是定积分数值计算？

在数学中，确定函数在一定区间上定积分近似值的方法称为定积分数值计算。其中，定积分指定函数曲线在指定区间内的有符号面积。

当无法使用标准积分技术找到函数的积分时，定积分数值计算对于逼近函数定积分的值非常有用。

定积分数值计算是通过将指定的总区间划分为较小的子区间来执行的。然后，计算曲线在每个子区间下的面积。最后，将为子区间确定的曲线下所有面积加起来，以获得曲线下的总面积。

定积分数值计算通常用于工程、物理、数学、经济学、计算机科学等领域，以确定连续函数在一定范围内累积效应。

在MATLAB中计算定积分数值解

MATLAB提供多个内置函数来计算函数的定积分数值解。但在本文中，我们将使用'quad'函数来使用MATLAB计算函数的定积分数值解。

在MATLAB中，'quad'函数可用于对仅针对单个变量在一定区间内定义的函数执行定积分数值计算。要执行定积分数值计算，我们使用'quad'函数的以下语法：

I = quad(f, a, b);

这里，f是待积分的单变量函数，a和b是积分的下限和上限。

现在，让我们对具有不同指定条件的函数执行定积分数值计算。

(1). 在指定区间上执行定积分数值计算

语法

使用“quad”函数的以下语法来在指定区间上执行函数的定积分数值计算：

I = quad(f, a, b);

其中，f是待积分函数，[a, b]是在其上执行定积分数值计算的指定区间。

考虑以下MATLAB代码以了解此语法在执行定积分数值计算中的用法。

MATLAB示例 (1)

% Define a function to be integrated
f = @(x) sin(x);

% Set the upper and lower limits
a = 0;
b = pi;

% Calculate the definite integral
I = quad(f, a, b);

% Display the result
disp('Definite integral of sin (x) from 0 to pi:');
disp(I);

输出

Definite integral of sin (x) from 0 to pi:
2

解释

此MATLAB程序计算并显示函数'sin(x)'的定积分数值解。

在此代码中，我们首先定义了一个函数'@(x) sin(x)'，这是一个匿名函数，用于计算输入变量'x'的正弦值。此函数存储在变量'f'中。接下来，我们指定积分的下限和上限'a和b'，在本例中为[0, pi]。

之后，我们使用'quad'函数计算函数'f'在指定区间上的积分值，结果存储在变量'I'中。最后，我们使用函数'disp'显示定积分值。

(2). 在指定区间上以指定的容差执行定积分数值计算

语法

使用'quad'函数的以下语法来计算给定函数在指定区间上具有指定容差的定积分数值解：

I = quad(f, a, b, t);

这里，f是待积分函数，a和b是区间的下限和上限，t是指定容差，表示结果中的误差。

MATLAB示例 (2)

以下MATLAB程序演示了'quad'函数的代码实现，用于在指定区间上以指定的容差执行定积分数值计算。

% MATLAB program to perform definite numerical integration with specified tolerance
% Define a function to be integrated
f = @(x) sin(x);

% Set the upper and lower limits
a = 0;
b = pi;

% Specify the tolerance for the error in the result
t = 1e-3;

% Calculate the definite integral
I = quad(f, a, b, t);

% Display the result
disp('Definite integral of sin (x) from 0 to pi with specified tolerance:');
disp(I);

输出

Definite integral of sin (x) from 0 to pi with specified tolerance:
2

解释

此MATLAB程序的代码实现和执行与前一个程序类似。此MATLAB代码计算并显示函数'sin(x)'在指定区间[0, pi]上具有指定容差'1e-3'（表示结果误差）的定积分数值解。

(3). 启用跟踪计算定积分数值解

可以使用以下语法的'quad'函数来执行函数在指定区间上具有指定容差且启用跟踪的定积分数值计算：

I = quad(f, a, b, t, trace);

这里，“trace”选项采用布尔值“true”或“false”，以显示积分计算过程中的调试信息。

MATLAB示例 (3)

以下MATLAB程序演示了此'quad'函数语法的实现，用于执行启用跟踪的定积分数值计算。

% MATLAB program to perform definite numerical integration with specified tolerance
% Define a function to be integrated
f = @(x) sin(x);

% Set the upper and lower limits
a = 0;
b = pi;

% Specify the tolerance for the error in the result
t = 1e-3;

% Enable the tracing option
trace = true;

% Calculate the definite integral
I = quad(f, a, b, t, trace);

% Display the result
disp('Definite integral of sin (x) from 0 to pi with tracing enabled:');
disp(I);

输出

Definite integral of sin (x) from 0 to pi with tracing enabled:
2.0000

解释

此MATLAB程序的代码实现和执行与之前的代码类似。此MATLAB程序计算函数'f'的定积分数值解，具有指定的容差，并跟踪在计算过程中显示的调试信息。

结论

这就是关于使用'quad'函数在MATLAB中计算定积分数值解的所有内容。在本教程中，我们解释了定积分数值计算的概念以及'quad'函数的不同语法。此外，我们还包含了一些MATLAB示例程序，以演示如何计算给定函数的定积分数值解。您可以使用不同的数学函数尝试所有这些MATLAB代码。