多边形的外部角

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引言

多边形的外部角是由多边形的一条边及其另一条边的延长线所形成的。多边形是几何学中一个基本且重要的形状。多边形是一个封闭的二维几何图形，具有三条或更多条边。希腊语中的“多边形”由两个词组成：“poly”意为多，“gon”意为角。多边形在现实生活中的一些例子包括六边形的形状，笔记本电脑的矩形屏幕，百慕大三角，埃及金字塔等等。三角形被广泛应用于现代建筑中。多边形有两种类型的角：外角和内角。内角是在多边形内部形成的角，而外角是在多边形外部形成的角。

多边形

• 多边形是一个封闭的二维几何图形，具有两条或更多条边。

• 如前所述，多边形是封闭形状，没有开放的端点。

• 多边形的边长和角的大小可能相同也可能不同。

• 三角形、五边形和六边形是多边形的一些例子。

• 多边形根据边长、角的大小和边的数量进行分类。

根据边数对多边形的分类：

序号	多边形名称	边数
1	三角形	3
2	四边形	4
3	五边形	5
4	六边形	6
5	七边形	7
6	八边形	8
7	九边形	9
8	十边形	10
9	十一边形	11
10	十二边形	12

根据边长和角的大小对多边形的分类：

• 根据边长，多边形分为两种类型

  • 正多边形

  • 非正多边形

正多边形

• 如果多边形的边长和角相等，则该多边形称为正多边形。

• 这些多边形被称为等角多边形和等边多边形。

• 例如，正方形的所有边和角都相等，因此正方形是正多边形。

非正多边形

• 如果多边形的边长和角不相等，则该多边形称为非正多边形。

• 例如，不等边三角形是非正多边形的最佳例子，不等边三角形的边长和角不相等。

根据多边形角的大小对多边形的分类

• 根据角的大小，多边形分为凸多边形和凹多边形两种类型。

凸多边形

• 如果内角的度数总是小于180⁰，则这些多边形称为凸多边形。

• 凸多边形的顶点总是指向外侧。

• 例如，六边形、五边形和七边形是凸多边形的一些例子。

凹多边形

• 凹多边形与凸多边形正好相反。

• 在凹多边形中，一个角的度数大于180⁰。

• 凹多边形的顶点总是指向内侧和外侧。

正多边形
非正多边形
凸多边形
凹多边形

上图显示了不同类型的多边形。

多边形的角

• 如前所述，多边形中有两种类型的角，如下所示：

  • 内角

  • 外角

多边形的内角

任何物体内部形成的角都称为内角。多边形的内角是在多边形的两条相邻边之间形成的角。内角的数量等于边的数量。

计算内角的公式为：

$$\mathrm{内角 = 180^0×(n-2)}$$

其中n是多边形的边数。

内角度数 $\mathrm{=\frac{180^0-n}{n}}$

多边形的外角

这些角是在多边形外部形成的角。上图显示了这些角。延长多边形的一条边后，由相邻边和延长线所成的角称为外角。

假设你从顶点$\mathrm{\angle 1}$开始，沿顺时针方向移动，你经过$\mathrm{\angle 2, \angle 3, \angle 4\: \&\: \angle 5}$回到同一个顶点。一个完整的旋转等于360⁰。因此，任何多边形的外角之和为360⁰。

外角的度数可以通过将360⁰除以边数来计算。公式为：

$$\mathrm{外角度数 = \frac{360^0}{n}}$$

多边形外角定理

定理：对于凸多边形，考虑每个外角，外角之和为360⁰。

证明：考虑一个有n条边的多边形。外角之和为N，对于任何封闭图形，外角之和等于线性对和内角之和。

$$\mathrm{∴ N=180n-180(n-2)}$$

$$\mathrm{N=180n-180n+360}$$

$$\mathrm{N=360}$$

因此，多边形外角之和为360⁰。

例题

1) 计算正五边形的每个外角的度数。

解：外角 $\mathrm{=\frac{360}{n}}$

对于五边形，n = 5

外角 = $\mathrm{\frac{360}{5}=72^0}$

因此，五边形的每个外角的度数为72⁰。

2) 求一个正十八边形的每个外角的度数。

解：这里n= 18

外角 = $\mathrm{\frac{360}{n}=\frac{360}{18}=20^0}$

因此，十八边形的每个外角的度数为20⁰。

3) 如果多边形的内角之和为2160⁰，求多边形的边数？

解：多边形的内角之和 = (n-2)×180⁰

$$\mathrm{2160^0 = (n-2)×180^0}$$

$$\mathrm{\frac{2160^0}{180^0}=(n-2)}$$

$$\mathrm{(n-2) = 12}$$

$$\mathrm{n = 14}$$

因此，多边形的边数为14。

结论

在本教程中，我们讨论了多边形、多边形的角和多边形的外角，并通过例题进行了讲解。在几何学中，多边形是一个具有三条或三条以上边的二维封闭形状。多边形根据边长、角的大小和边数进行分类。在一个多边形中，可以找到两种类型的角：内角和外角。我们还学习了计算多边形内角和外角的公式。

常见问题

1. 什么是远内角？

与外角不相邻且不共享外角顶点的角称为远内角。

2. 六边形的角的度数是多少？

六边形的每个内角和外角的度数分别为120⁰和60⁰。

3. 菱形可以是多边形吗？

是的。菱形是四边形。四边形是一种多边形，因此所有菱形都是多边形。

4. 所有多边形的外角之和都等于360⁰吗？

任何类型多边形的外角之和都为360⁰。

5. 外角性质是什么？

在三角形中，外角的度数等于两个内角度数之和。