GATE 数学考试大纲

科目代码：MA

课程结构

课程大纲

A 节：线性代数

• 有限维向量空间
• 线性变换及其矩阵表示 -
  • 秩
  • 线性方程组
  • 特征值和特征向量
  • 最小多项式
  • Cayley-Hamilton 定理
  • 对角化
  • Jordan 标准形
  • Hermitian 矩阵
  • Skew-Hermitian 矩阵
  • 酉矩阵
• 有限维内积空间 -
  • Gram-Schmidt 正交化过程
  • 自伴算子，定形式

B 节：复变分析

• 解析函数，保角映射，双线性变换
• 复积分 -
  • 柯西积分定理和公式
  • 刘维尔定理
  • 最大模原理
• 零点和奇点
• Taylor 级数和 Laurent 级数
• 留数定理及其在计算实积分中的应用

C 节：实变分析

• 函数序列与级数 -
  • 一致收敛
  • 幂级数
  • 傅里叶级数
  • 多元函数
  • 极大值
  • 极小值
• Riemann 积分 -
  • 重积分
  • 线
  • 面积分和体积分
  • Green 定理
  • Stokes 定理
  • Gauss 定理
• 度量空间 -
  • 紧致性
  • 完备性
  • Weierstrass逼近定理
• Lebesgue 测度 -
  • 可测函数
• Lebesgue 积分 -
  • Fatou引理
  • 控制收敛定理

D 节：常微分方程

• 一阶常微分方程 -

  • 初值问题的存在性和唯一性定理

  • 线性一阶常微分方程组

  • 具有常系数的高阶线性常微分方程

• 具有变系数的二阶线性常微分方程

• 用拉普拉斯变换求解常微分方程的方法，级数解法（幂级数法，Frobenius 方法）

• 勒让德函数和贝塞尔函数及其正交性

E 节：代数

• 群，子群，正规子群，商群和同态定理

• 自同构

• 循环群和置换群

• Sylow 定理及其应用

• 环，理想，素理想和极大理想，商环，唯一分解整环，主理想整环，欧几里得整环，多项式环和不可约性判据

• 域，有限域和域扩张

F 节：泛函分析

• 赋范线性空间
• Banach 空间
• Hahn-Banach 延拓定理
• 开映射定理和闭图像定理
• 一致有界原理
• 内积空间
• Hilbert 空间
• 正交基
• Riesz 表示定理
• 有界线性算子

G 节：数值分析

• 代数方程和超越方程的数值解法 -
  • 二分法
  • 割线法
  • Newton-Raphson 法
  • 不动点迭代
• 插值 -
  • 多项式插值的误差
  • Lagrange 插值，Newton 插值
• 数值微分
• 数值积分 -
  • 梯形法则和辛普森法则
• 线性方程组的数值解法 -
  • 直接法 (高斯消元法，LU 分解)
• 迭代法 (Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法)
• 常微分方程的数值解法
• 初值问题 -
  • 欧拉法
  • 二阶 Runge-Kutta 法

H 节：偏微分方程

• 一阶线性及拟线性偏微分方程 -

  • 特征线法

• 二元二阶线性方程及其分类

• Cauchy 问题，Dirichlet 问题和 Neumann 问题

• 二维笛卡尔坐标系下 Laplace 方程、波动方程的解，极坐标系下的内、外 Dirichlet 问题

• 用分离变量法求解一维波动方程和扩散方程

• 傅里叶级数和傅里叶变换以及拉普拉斯变换解法

I 节：拓扑学

• 拓扑学的基本概念
• 基
• 子基
• 子空间拓扑
• 序拓扑
• 积拓扑
• 连通性
• 紧致性
• 可数性
• 分离公理
• Urysohn 引理

J 节：概率与统计

• 概率空间，条件概率，Bayes 定理，独立性，随机

• 变量，联合分布和条件分布，标准概率分布及其性质（离散均匀分布，二项分布，泊松分布，几何分布，负二项分布，正态分布，指数分布，伽马分布，连续均匀分布，二元正态分布，多项分布），期望，条件期望，矩

• 大数弱定律和大数强定律，中心极限定理

• 抽样分布，UMVU 估计量，最大似然估计量

• 区间估计

• 假设检验，基于正态分布的标准参数检验

• 简单线性回归

H 节：线性规划

• 线性规划问题及其公式化，凸集及其性质，图解法，基本可行解，单纯形法，大M法和两阶段法

• 不可行和无界线性规划问题，备选最优解

• 对偶问题和对偶定理，对偶单纯形法及其在后优化分析中的应用

• 平衡和不平衡运输问题，求解运输问题的 Vogel 近似法

• 求解指派问题的匈牙利法

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