GATE 科目-XE-A 工程数学大纲



课程结构

单元 主题
单元 1 线性代数
单元 2 微积分
单元 3 向量微积分
单元 4 复变函数
单元 5 常微分方程
单元 6 偏微分方程
单元 7 概率与统计
单元 8 数值方法

课程大纲

单元 1:线性代数

  • 矩阵代数
  • 矩阵的逆和秩
  • 线性方程组
  • 对称矩阵、反对称矩阵和正交矩阵
  • 行列式
  • 特征值和特征向量
  • 矩阵的对角化
  • Cayley-Hamilton 定理

单元 2:微积分

第 1 章:单变量函数

  • 极限、连续性和可微性
  • 中值定理
  • 不定型和洛必达法则
  • 极大值和极小值
  • 泰勒定理
  • 积分学的基本定理和中值定理
  • 定积分和反常积分的计算
  • 定积分在计算面积和体积中的应用

第 2 章:二元函数

  • 极限、连续性和偏导数
  • 方向导数
  • 全导数
  • 切平面和法线
  • 极大值、极小值和鞍点
  • 拉格朗日乘子法
  • 二重积分和三重积分及其应用

第 3 章:数列与级数

  • 数列和级数的收敛性
  • 收敛性检验
  • 幂级数
  • 泰勒级数
  • 傅里叶级数
  • 半周期正弦和余弦级数

单元 3:向量微积分

  • 梯度、散度和旋度

  • 线积分和面积分

  • 格林定理、斯托克斯定理和高斯散度定理(不含证明)

单元 4:复变函数

  • 解析函数
  • 柯西-黎曼方程
  • 线积分、柯西积分定理和积分公式(不含证明)
  • 泰勒级数和洛朗级数
  • 留数定理(不含证明)及其应用

单元 5:常微分方程

  • 一阶方程(线性与非线性)
  • 具有常系数的高阶线性微分方程
  • 具有变系数的二阶线性微分方程
  • 参数变化法
  • 柯西-欧拉方程
  • 幂级数解法
  • 勒让德多项式、第一类贝塞尔函数及其性质

单元 6:偏微分方程

  • 二阶线性偏微分方程的分类
  • 分离变量法
  • 拉普拉斯方程
  • 一维热传导方程和波动方程的解

单元 7:概率与统计

  • 概率公理
  • 条件概率
  • 贝叶斯定理
  • 离散和连续随机变量 -
    • 二项分布
    • 泊松分布
    • 正态分布
  • 相关性和线性回归

单元 8:数值方法

  • 使用 LU 分解求解线性方程组

  • 高斯消元法和高斯-赛德尔法

  • 拉格朗日插值和牛顿插值

  • 用牛顿-拉夫森法求解多项式方程和超越方程

  • 用梯形法进行数值积分

  • 辛普森法则和高斯求积法

  • 欧拉法和四阶龙格-库塔法求解一阶微分方程的数值解

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