因式分解: $(a+b)^3 + (c-b)^3 - (a+c)^3$

已知

已知项为 $(a+b)^3 + (c-b)^3 - (a+c)^3$。

要求

我们需要对已知项进行因式分解。

解答

$(a+b)^3 + (c-b)^3 - (a+c)^3 = (a+b)^3 + (c-b)^3 +[-(a+c)]^3$

我们知道：

$a^3 + b^3 + c^3 -3abc = (a+b+c) (a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac)$。

如果 $a+b+c = 0$，则 $a^3 + b^3 + c^3 =3abc$

因此，

如果 $(a+b) + (c-b) + (-a-c) = 0$，则

$(a+b)^3 + (c-b)^3 + (-a-c)^3 = 3(a+b) (c-b) (-a-c)$

$(a+b) + (c-b) + (-a-c) = a + b + c - b - a - c = 0$。

$(a+b)^3 + (c-b)^3 + (-a-c)^3 = 3(a+b) (c-b) (-a-c)$

                                                  $= -3(a+b) (c-b) (a+c)$

                                                    $= 3(a+b) (b - c) (a+c)$

因此，$(a+b)^3 + (c-b)^3 - (a+c)^3 = 3(a+b) (b - c) (a+c)$。

教程点

更新于: 2022年10月10日

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