求解下列方程中使得根为实数且相等的k值
x2−2(5+2k)x+3(7+10k)=0
已知
已知二次方程为 x2−2(5+2k)x+3(7+10k)=0。
求解
我们需要求解使得根为实数且相等的k值。
解法
将已知二次方程与标准形式的二次方程 ax2+bx+c=0 进行比较,得到:
a=1,b=−2(5+2k) 且 c=3(7+10k)。
标准形式二次方程 ax2+bx+c=0 的判别式为 D=b2−4ac。
D=[−2(5+2k)]2−4(1)[3(7+10k)]
D=4(5+2k)2−12(7+10k)
D=4(25+4k2+20k)−84−120k
D=16k2+80k+100−84−120k
D=16k2−40k+16
如果 D=0,则已知二次方程具有实数且相等的根。
因此,
16k2−40k+16=0
8(2k2−5k+2)=0
2k2−5k+2=0
2k2−4k−k+2=0
2k(k−2)−1(k−2)=0
(2k−1)(k−2)=0
2k−1=0 或 k−2=0
2k=1 或 k=2
k=12 或 k=2
k的值为 12 和 2。
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