如果 $x = 3$ 且 $y = -1$，使用恒等式求解下列各式的值：\( \left(\frac{5}{x}+5 x\right)\left(\frac{25}{x^{2}}-25+25 x^{2}\right) \)

已知：

$x = 3$ 且 $y = -1$

求解：

我们要求解 \( \left(\frac{5}{x}+5 x\right)\left(\frac{25}{x^{2}}-25+25 x^{2}\right) \) 的值。

解：

我们知道：

$a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-a b+b^{2})$

$a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+a b+b^{2})$

因此：

$(\frac{5}{x}+5 x)(\frac{25}{x^{2}}-25+25 x^{2})=(\frac{5}{x}+5 x)[(\frac{5}{x})^{2}-\frac{5}{x} \times 5 x+(5 x)^{2}]$

$=(\frac{5}{x})^{3}+(5 x)^{3}$

$=\frac{125}{x^{3}}+125 x^{3}$

$=\frac{125}{(3)^{3}}+125 \times(3)^{3}$

$=\frac{125}{27}+125 \times 27$

$=\frac{125}{27}+3375$

$=\frac{125+3375 \times 27}{27}$

$=\frac{91250}{27}$

因此，\((\frac{5}{x}+5 x)(\frac{25}{x^{2}}-25+25 x^{2})=\frac{91250}{27}\).

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更新于：2022年10月10日

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