如果 $x = 3$ 且 $y = -1$，使用恒等式求解下列各式的值：$\left(\frac{3}{x}-\frac{x}{3}\right)\left(\frac{x^{2}}{9}+\frac{9}{x^{2}}+1\right)$

已知：

$x = 3$ 且 $y = -1$

要求：

我们要求解$\left(\frac{3}{x}-\frac{x}{3}\right)\left(\frac{x^{2}}{9}+\frac{9}{x^{2}}+1\right)$的值。

解：

我们知道：

$a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$

$a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$

因此，

$(\frac{3}{x}-\frac{x}{3})(\frac{x^{2}}{9}+\frac{9}{x^{2}}+1)=(\frac{3}{x}-\frac{x}{3})[(\frac{x}{3})^{2}+\frac{x}{3} \times \frac{3}{x}+(\frac{3}{x})^{2}]$

$=(\frac{3}{x})^{3}-(\frac{x}{3})^{3}$

$=(\frac{3}{3})^{3}-(\frac{3}{3})^{3}$

$=1^{3}-1^{3}$

$=0$

因此，$(\frac{3}{x}-\frac{x}{3})(\frac{x^{2}}{9}+\frac{9}{x^{2}}+1)=0$。

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更新于：2022年10月10日

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