在一个锐角三角形中，用其边表示中线。

已知

给定一个锐角三角形。

要求

我们必须用三角形的边表示三角形的中线。

解答

设 $\triangle ABC$ 是一个锐角三角形，AD 是其中线。

作 $AE \perp BC$。

这意味着，

在 $\triangle A E B$ 中，根据勾股定理

$A B^{2}=A E^{2}+B E^{2}$

$\Rightarrow A B^{2}=A D^{2}-D E^{2}+(B D-D E)^{2} \quad$ (根据勾股定理)

$\Rightarrow A B^{2}=A D^{2}-D E^{2}+B D^{2}+D E^{2}-2 B D \times D E$

$\Rightarrow A B^{2}=A D^{2}+B D^{2}-2 B D \times D E$

$\Rightarrow A B^{2}=A D^{2}+\frac{B C^{2}}{4}-B C \times D E \quad---(i) \quad(B C=2 B D$ 已知 $)$

在 $\triangle AEC$ 中，根据勾股定理

$A C^{2}=A E^{2}+E C^{2}$

$\Rightarrow A C^{2}=A D^{2}-D E^{2}+(D E+C D)^{2} \quad$ (根据勾股定理)

$\Rightarrow A C^{2}=A D^{2}-D E^{2}+D E^{2}+C D^{2}+2 C D \times D E$

$\Rightarrow A C^{2}=A D^{2}+C D^{2}+2 C D \times D E$

$\Rightarrow A C^{2}=A D^{2}+\frac{B C^{2}}{4}+B C \times D E \quad---(ii) \quad(B C=2 C D$ 已知 $)$

将方程 (i) 和 (ii) 相加，得到：

$A B^{2}+A C^{2}=2 A D^{2}+\frac{B C^{2}}{2}$

$\Rightarrow 2 A B^{2}+2 A C^{2}=4 A D^{2}+B C^{2} \quad$ (两边乘以 2)

$\Rightarrow 4 A D^{2}=2 A B^{2}+2 A C^{2}-B C^{2}$

$\Rightarrow A D^{2}=\frac{2 A B^{2}+2 A C^{2}-B C^{2}}{4}$.

因此，

$AD^2=\frac{2AB^2+2AC^2-BC^2}{4}$。

教程点

更新于： 2022 年 10 月 10 日

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