设一个等差数列的首项为‘$a$’，公差为'$d$'。如果 $a_n$ 表示其第 $n$ 项，$S_n$ 表示前 $n$ 项的和，求 $n$ 和 $d$，已知 $a = 8, a_n = 62$ 且 $S_n = 210$。

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已知

在一个等差数列中，首项 $=a$，公差 $=d$。

$a_n$ 表示其第 $n$ 项，$S_n$ 表示前 $n$ 项的和。

求解

我们要求 $n$ 和 $d$，已知 $a = 8, a_n = 62$ 且 $S_n = 210$。

解答

我们知道，

$\mathrm{S}_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$

第 $n$ 项 $a_n=a+(n-1)d$

这意味着，

$a_n=8+(n-1)d$

$62=8+(n-1)d$

$62-8=(n-1)d$

$54=(n-1)d$

$(n-1)d=54$........(i)

$S_n=\frac{n}{2}[2 \times 8+(n-1)d]$

$210=\frac{n}{2}[16+54]$        (由 (i) 式得)

$210(2)=n(70)$

$3(2)=n$

$n=6$

$\therefore (6-1)d=54$

$5d=54$

$d=\frac{54}{5}$

因此，$n=6$ 且 $d=\frac{54}{5}$。