如果一个等差数列的第10项是21，前十项的和是120，求它的第n项。

已知

一个等差数列的第10项是21，前十项的和是120

要求

我们必须找到这个等差数列的第n项。

解答

设等差数列的首项为$a$，公差为$d$。

我们知道：

等差数列的第n项 $a_n=a+(n-1)d$

因此：

$a_{10}=a+(10-1)d$

$21=a+9d$

$a=21-9d$......(i)

等差数列前n项的和 $S_n=\frac{n}{2}(2a+(n-1)d)$

$S_{10}=\frac{10}{2}(2a+(10-1)d$

$120=5(2a+9d)$

$120=10a+45d$

$120=10(21-9d)+45d$ (由(i)式)

$120=210-90d+45d$

$90d-45d=210-120$

$45d=90$

$d=\frac{90}{45}$

$d=2$

这意味着：

$a=21-9(2)$

$=21-18$

$=3$

等差数列的第n项 $a_n=a+(n-1)d$

$=3+(n-1)2$

$=3+2n-2$

$=2n+1$

因此，给定等差数列的第n项是$2n+1$。   

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更新于：2022年10月10日

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