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法律研究如果一个等差数列 (AP) 的前 $n$ 项和为 $\frac{1}{2}(3n^2+7n)$，则求其第 $n$ 项。然后，求其第 20 项。
已知：一个等差数列 (AP) 的前 $n$ 项和为 $\frac{1}{2}(3n^2+7n)$
要求：求其第 $n$ 项和第 20 项。
解
$S_n=\frac{1}{2}( 3n^2+7n)$
$S_1=\frac{1}{2}(3+7)=5$
$S_2=\frac{1}{2}(3\times2^2+7\times2)=\frac{26}{2}=13$
我们知道
$S_1=a_1=5$
$S_2=a_1+a_2=13$
$\Rightarrow S_2-S_1=a_1+a_2-a_1$
$\Rightarrow 13-5=a_2$
$\Rightarrow a_2=8$
我们也知道公差 $d=a_2-a_1$
$\Rightarrow d=8-5=3$
等差数列的第 $n$ 项 $=a_n=5+( n-1)3$
$a_n= 2+3n$
因此，第 20 项 $=a_{20}=2+3(20)=62$
因此，等差数列的第 20 项为 62。
更新于： 2022 年 10 月 10 日
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