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如果一个等差数列 (AP) 的前 $n$ 项和为 $\frac{1}{2}(3n^2+7n)$ ，则求其第 $n$ 项。然后，求其第 20 项。

学术数学 NCERT 10 年级

已知：一个等差数列 (AP) 的前

$n$ 项和为

$\frac{1}{2}(3n^2+7n)$

要求：求其第

$n$ 项和第 20 项。

解

$S_n=\frac{1}{2}( 3n^2+7n)$

$S_1=\frac{1}{2}(3+7)=5$

$S_2=\frac{1}{2}(3\times2^2+7\times2)=\frac{26}{2}=13$

我们知道

$S_1=a_1=5$

$S_2=a_1+a_2=13$

$\Rightarrow S_2-S_1=a_1+a_2-a_1$

$\Rightarrow 13-5=a_2$

$\Rightarrow a_2=8$

我们也知道公差

$d=a_2-a_1$

$\Rightarrow d=8-5=3$

等差数列的第

$n$ 项

$=a_n=5+( n-1)3$

$a_n= 2+3n$

因此，第 20 项

$=a_{20}=2+3(20)=62$

因此，等差数列的第 20 项为 62。

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更新于： 2022 年 10 月 10 日

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