如果一个等差数列的第 m 项的 m 倍等于其第 n 项的 n 倍，求该等差数列的第 (m+n) 项。

已知：如果一个等差数列的第 m 项的 m 倍等于其第 n 项的 n 倍。

求解：求该等差数列的第 (m+n) 项。

解题步骤

根据题意，

等差数列的第 n 项 = tn = a + (n−1)d

等差数列的第 m 项 = tm = a + (m−1)d

⇒ mtm = ntn
​
⇒ m[a+(m−1)d] = n[a+(n−1)d]

⇒ m[a+(m−1)d] − n[a+(n−1)d] = 0

⇒ a(m−n) + d[(m+n)(m−n) − (m−n)] = 0

⇒ (m−n)[a + d((m+n)−1)] = 0

⇒ a + [(m+n)−1]d = 0

但 tm+n = a + [(m+n)−1]d

∴ tm+n = 0

更新于：2022年10月10日

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