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法律研究如果一个等差数列的第 m 项是 1/n，另一个等差数列的第 n 项是 1/m，则证明它们的第 (mn) 项等于 1。
已知：等差数列的第 m 项为 1/n，另一个等差数列的第 n 项为 1/m。
要求：证明第 (mn) 项等于 1。
解答
已知，第 m 项 am = 1/n，第 n 项 an = 1/m
设 a 和 d 分别为等差数列的首项和公差。
⇒ am = a + (m-1)d = 1/n ..........(1)
且，an = a + (n-1)d = 1/m .......(2)
用 (2) 式减去 (1) 式，得到：
md - d - nd + d = 1/n - 1/m
⇒ d(m - n) = (m - n) / mn
⇒ d = 1 / mn
将此值代入 (1) 式或 (2) 式，得到：
a = 1 / mn
设 A 为等差数列的第 mn 项。
A = a + (mn - 1)d = 1/mn + (mn - 1)(1/mn) = 1
证毕。
更新于：2022年10月10日
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