等差数列（A.P.）的第 14 项是其第 8 项的两倍。如果它的第 6 项是 -8，则求其前 20 项的和。

已知：等差数列的第 14 项是其第 8 项的两倍，且其第 6 项为 -8。

要求：求其前 20 项的和。

已知：

$a_{14} =2.a_{8}$

并且 $a_{6} =-8$

假设给定等差数列的第一项为 $a$，公差为 $d$。

则其第 $n$ 项为：

$a_{n} =a+\left( n-1\right) d$

$a_{14} =a+\left( 14-1\right) d$

$a_{14} =a+13d$

类似地，

$a_{8} =a+7d$

并且 $a_{6} =a+5d$

$\Rightarrow a+5d=-8\ \ \ ............\left( 1\right)   \ \ \left( \because a_{6} =-8\ 已知\ \right)$

并且 $a_{14} =2.a_{8}$

$a+13d=2\left( a+7d\right)$

$\Rightarrow a+13d=2a+14d$

$\Rightarrow a+d=0\ \ \ \ .......................\left( 2\right)$

从 (1) 式中减去 (2) 式，

$a+5d-a-d=-8$

$\Rightarrow 4d=-8$

$\Rightarrow d=-\frac{8}{4} =-2$

将此值代入 (2) 式，

$a=2$

则 n 项的和，$S_{n} =\frac{n}{2}\left[ 2a+\left( n-1\right) d\right]$

$\therefore$ 其前 20 项的和为：

$S_{20} =\frac{20}{2}\left[ 2\times 2-2\left( 20-1\right)\right]$

$\Rightarrow S_{20} =10\left( 4-38\right)$

$\Rightarrow S_{20} =-340$

因此，其前 20 项的和为 -340。