如果一个等差数列前 $n$ 项的和为 $\frac{1}{2}(3n^2 + 7n)$，求其第 $n$ 项。然后写出其第 20 项。

已知

一个等差数列前 $n$ 项的和为 $\frac{1}{2}(3n^2 + 7n)$。

要求

我们需要求出给定等差数列的第 $n$ 项和第 20 项。

解答

$S_{n} =5n^{2} +3n$

当 $n=1$ 时，$S_{1} =\frac{1}{2}[3(1)^2 + 7(1)]=\frac{1}{2}(10)=5$

因此，首项 $a=5$

当 $n=2$ 时，$S_{2} =\frac{1}{2}[3(2)^2 + 7(2)]=\frac{1}{2}(26)=13$

$\therefore$ 等差数列的第二项 $=S_{2} -S_{1}$

$=13-5$

$=8$

等差数列的公差，$d=$第二项 $-$ 首项

$=8-5=3$

我们知道，

$a_{n}=a+(n-1)d$

$a_{n}=5+( n-1) \times 3$

$=5+3n-3$

$=3n+2$

$a_{20}=5+( 20-1) \times 3$

$=5+19\times 3$

$=5+57$

$=62$

因此，第 $n$ 项为 $3n+2$，给定等差数列的第 20 项为 62。

教程点

更新时间: 2022年10月10日

970 次浏览

开启您的 职业生涯

通过完成课程获得认证

开始学习