在一个等差数列中，前 $n$ 项的和为 $\frac{3n^2}{2}+\frac{13}{2}n$。求它的第 25 项。

已知

在一个等差数列中，前 $n$ 项的和为 $\frac{3n^2}{2}+\frac{13}{2}n$。

要求

我们必须找到给定等差数列的第 $25$ 项。

解答

$S_{n} =\frac{3n^2}{2}+\frac{13}{2}n$

当 $n=1$ 时，$S_{1} =\frac{3(1)^2}{2}+\frac{13}{2}(1)=\frac{3+13}{2}=\frac{16}{2}=8$

因此，第一项 $a=8$

当 $n=2$ 时，$S_{2} =\frac{3(2)^2}{2}+\frac{13}{2}(2)=\frac{12+26}{2}=\frac{38}{2}=19$

$\therefore$ 等差数列的第二项$=S_{2} -S_{1}$

$=19-8$

$=11$

等差数列的公差，$d=$第二项$-$第一项

$=11-8=3$

我们知道，

$a_{n}=a+(n-1)d$

$\therefore a_{25}=8+( 25-1) \times 3$

$=8+24\times 3$

$=8+72$

$=80$

因此，给定等差数列的第 $25$ 项是 $80$。 

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更新于: 2022年10月10日

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