等差数列前 $m$ 项的和为 $4m^2 – m$。如果它的第 $n$ 项为 107，求 $n$ 的值。此外，求该等差数列的第 21 项。

已知

等差数列前 $m$ 项的和为 $4m^2 – m$，且它的第 $n$ 项为 107。

要求

我们需要求出给定等差数列的 $n$ 值和第 21 项。

解答

$S_{m} =4m^{2} -m$

当 $m=1$ 时，$S_{1} =4\times 1^{2} -1=4-1=3$

因此，首项 $a=3$

当 $n=2$ 时，$S_{2} =4\times 2^{2} -2=16-2=14$

$\therefore$ 等差数列的第二项 $=S_{2} -S_{1}$

$=14-3$

$=11$

等差数列的公差，$d=$第二项 $-$ 首项

$=11-3=8$

我们知道，

$a_{m}=a+(m-1)d$

$a_{n}=3+( n-1) \times 8$

$107=3+8n-8$

$8n=107+5$

$8n=112$

$n=14$

$a_{21}=3+( 21-1) \times 8$

$=3+20\times 8$

$=3+160$

$=163$

因此，$n$ 的值为 14，给定等差数列的第 21 项为 163。 

教程点

更新于: 2022年10月10日

2K+ 浏览量

开启你的 职业生涯

通过完成课程获得认证

开始学习