等差数列的第 $m$ 项为 $x$，第 $n$ 项为 $y$。求前 $(m+n)$ 项的和。

已知：等差数列的第 $m$ 项为 $x$，第 $n$ 项为 $y$。

求解：求前 $(m+n)$ 项的和。

解：

$a+(m-1)d=x$

$a+(n-1)d=y$

$x-y=[a+(m-1)d]-[a+(n-1)d]$

$x-y=(m-n)d$

$\therefore d=\frac{x-y}{m-n}$

​

$S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$

$S_{m+n}=\frac{m+n}{2}[2a+(m+n-1)d]$

$=\frac{m+n}{2}[2a+(m+n-2)d+d]$

$=\frac{m+n}{2}[a+(m-1)d+a+(n-1)d+d]$

$=\frac{m+n}{2}[a+b+d]$

$\therefore S_n=\frac{m+n}{2}[a+b+\frac{x-y}{m-n}]$

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更新于： 2022 年 10 月 10 日

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