设有一个等差数列，首项为‘$a$’，公差为'$d$’。如果 $a_n$ 表示其第 $n$ 项，$S_n$ 表示前 $n$ 项的和，求 $k$，已知 $S_n = 3n^2 + 5n$ 且 $a_k = 164$。

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已知

在一个等差数列中，首项 $=a$，公差 $=d$。

$a_n$ 表示其第 $n$ 项，$S_n$ 表示前 $n$ 项的和。

要求

如果 $S_n = 3n^2 + 5n$ 且 $a_k = 164$，求 $k$。

解答

令 $n=1, 2$，求 $a$ 和 $d$ 的值

$S_1=3(1)^2+5(1)$

$=3+5$

$=8$

$\Rightarrow a_1=a=8$

$S_2=3(2)^2+5(2)$

$=12+10$

$=22$

第二项 $a_2=S_2-S_1$

$=22-8$

$=14$

因此，

$d=a_2-a_1$

$=14-8$

$=6$

我们知道，

第 $n$ 项 $a_n=a+(n-1)d$

$a_k=a+(k-1)d$

$164=8+(k-1)6$

$164-8=(k-1)6$

$156=(k-1)6$

$k-1=26$

$k=26+1$

$k=27$

因此，$k=27$。