如果 $S_n$ 表示等差数列前 $n$ 项的和，证明 $S_{12} = 3(S_8 – S_4)$。

已知

要求

我们必须证明 $S_{12} = 3(S_8 – S_4)$。

解答

设 $a$ 为首项，$d$ 为公差。

我们知道：

$\mathrm{S}_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$

$S_{4}=\frac{4}{2}[2 \times a+(4-1) \times d]$

$=2[2a+3d]$

$=4a+6d$......(i)

$S_{8}=\frac{8}{2}[2 \times a+(8-1) \times d]$

$=4[2a+7d]$

$=8a+28d$......(ii)

$S_{12}=\frac{12}{2}[2 \times a+(12-1) \times d]$

$=6[2a+11d]$

$=12a+66d$......(iii)

由 (i) 和 (ii)

$3(S_8-S_4)=3[8a+28d-(4a+6d)]$

$=3(8a+28d-4a-6d)$

$=3(4a+22d)$

$=12a+66d$

$=S_{12}$        (由 (iii))

证毕。

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更新于：2022年10月10日

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