如果一个等差数列的前四项之和为 40，前 14 项之和为 280。求其前 n 项之和。

已知

一个等差数列的前四项之和为 40，前 14 项之和为 280。

求解

我们需要求出该等差数列的前 $n$ 项之和。

解答

设首项为 $a$，公差为 $d$。

我们知道，

前 $n$ 项之和 $S_{n} =\frac{n}{2}(2a+(n-1)d)$

$S_{4}=\frac{4}{2}[2(a)+(4-1)d]$

$40=2(2a+3d)$

$20=2a+3d$

$2a=20-3d$......(i)

$S_{14}=\frac{14}{2}[2(a)+(14-1)d]$

$280=7(2a+13d)$

$40=2a+13d$

$20-3d+13d=40$       (根据 (i))

$10d=40-20$

$d=\frac{20}{10}$

$d=2$

这意味着，

$2a=20-3(2)$

$2a=20-6$

$a=\frac{14}{2}$

$a=7$

前 $n$ 项之和 $S_n=\frac{n}{2}(2a+(n-1)d)$

$S_n=\frac{n}{2}[2(7)+(n-1)2]$

$=n(7+n-1)$

$=n(n+6)$

$=n^2+6n$

因此，前 $n$ 项之和为 $n^2+6n$。   

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更新于: 2022 年 10 月 10 日

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