如果一个等差数列的 7 项和为 49，而 17 项和为 289，求该数列的 n 项和。

已知

一个等差数列的 7 项和为 49，而 17 项和为 289。

要求

我们必须求出该数列的 n 项和。

解

设首项为 $a$，公差为 $d$。

我们知道，

n 项和 $S_{n} =\frac{n}{2}(2a+(n-1)d)$

$S_{7}=\frac{7}{2}[2(a)+(7-1)d]$

$49=\frac{7}{2}(2a+6d)$

$49=7(a+3d)$

$a+3d=7$

$a=7-3d$......(i)

$S_{17}=\frac{17}{2}[2(a)+(17-1)d]$

$289=\frac{17}{2}(2a+16d)$

$289=17(a+8d)$

$a+8d=17$

$7-3d+8d=17$       (由 (i) 式)

$5d=17-7$

$d=\frac{10}{5}$

$d=2$

这意味着，

$a=7-3(2)$

$a=7-6$

$a=1$

n 项和 $S_n=\frac{n}{2}(2a+(n-1)d)$

$S_n=\frac{n}{2}[2(1)+(n-1)2]$

$=n(1+n-1)$

$=n^2$

因此，n 项和为 $n^2$。  

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更新于： 2022年10月10日

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