一个等差数列的首项和末项分别为 7 和 49。如果所有项的和为 420，求其公差。

已知

一个等差数列的首项和末项分别为 7 和 49。如果所有项的和为 420。

要求

我们必须找到它的公差。

解答

设 $a$ 为首项，$d$ 为公差，$n$ 为项数。

首项 $a=7$

末项 $l=49$

等差数列的和 $S_{n}=420$

我们知道，

$l=a_{n}=a+(n-1)d$

$\Rightarrow 49=7+(n-1)d$

$\Rightarrow ( n-1) d=49-7$

$\Rightarrow (n-1)d=42$........(i)

等差数列 $n$ 项和 $S_{n} =\frac{n}{2}[ 2a+( n-1) d]$

$\Rightarrow 420=\frac{n}{2}[2(7)+42]$                  (根据 (i))

$\Rightarrow 420=n(7+21)$

$\Rightarrow n=\frac{420}{28}$

$n=15$

这意味着，

$(15-1)d=42$

$\Rightarrow 14d=42$

$\Rightarrow d=\frac{42}{14}$

$\Rightarrow d=3$

因此，给定等差数列的公差为 $3$。 

教程点

更新于: 2022年10月10日

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